So benutzen Sie diesen Matrizenrechner
- Größe festlegen. Mit den Plus- und Minus-Schaltflächen über jeder Matrix fügen Sie Zeilen und Spalten hinzu oder entfernen sie, bis 50×50. Matrix B brauchen nur Operationen mit zwei Matrizen.
- Zahlen eintragen. Zwischen den Feldern bewegen Sie sich mit den Pfeiltasten wie in einer Tabellenkalkulation. Dezimalzahlen und negative Werte sind erlaubt. Zufällig füllt die Matrix, wenn Sie einfach ausprobieren möchten.
- Operation wählen. Das Ergebnis erscheint sofort. Über Rechenweg anzeigen sehen Sie, wie es zustande kam — und wechseln, wo es mehrere Verfahren gibt, zwischen ihnen.
Was Sie berechnen können
- Determinante — per Gauß-Elimination, Laplace-Entwicklung, Regel von Sarrus oder Verfahren von Montante.
- Inverse — per Gauß-Jordan auf [A | I], Adjunktenformel oder Verfahren von Montante.
- Multiplikation — A×B und B×A getrennt, jeder Eintrag als Skalarprodukt ausgeschrieben.
- Zeilenstufenform und reduzierte Zeilenstufenform, dazu der Rang.
- Eigenwerte und Eigenvektoren, dazu das charakteristische Polynom.
- LU- und Cholesky-Zerlegung.
- Addition, Subtraktion, Transponierte, Spur, Skalarmultiplikation und ganzzahlige Potenzen.
Ein vollständiges Beispiel
Nehmen Sie A = [[4, 7], [2, 6]] und fragen Sie nach der Inversen. Gauß-Jordan schreibt die Einheitsmatrix daneben und formt die linke Hälfte um, bis sie selbst zur Einheitsmatrix wird:
Die rechte Hälfte ist A⁻¹. Der Rechenweg zeigt jede Zeilenumformung, die dorthin geführt hat — Z1 → (1/4)·Z1, Z2 → Z2 − 2·Z1 und so weiter —, und zwar in exakten Brüchen, weil intern rational statt in Gleitkommazahlen gerechnet wird. Fügen Sie das Ergebnis in B ein und rechnen Sie A × B: Es muss die Einheitsmatrix herauskommen, und genau so prüft man jede Inverse.
Determinante, Rang oder Inverse — was brauchen Sie?
Die drei beschreiben dieselbe Eigenschaft aus verschiedenen Blickwinkeln, und es ist leicht, zur falschen zu greifen.
- Die Determinante ist eine einzige Zahl und existiert nur für quadratische Matrizen. Nehmen Sie sie, wenn Sie eine Ja-oder-Nein-Antwort zur Invertierbarkeit oder einen Streckfaktor brauchen.
- Der Rang funktioniert bei jeder Form und zählt, wie viele Zeilen unabhängige Information tragen. Nehmen Sie ihn für rechteckige Matrizen und für die Frage, ob ein Gleichungssystem lösbar ist.
- Die Inverse ist eine ganze Matrix und existiert nur bei Determinante ungleich null. Nehmen Sie sie, wenn Sie die Abbildung wirklich rückgängig machen müssen — zum Lösen von
Ax = b ist das Umformen von [A | b] jedoch schneller und genauer.
Bei einer quadratischen Matrix fallen die drei zusammen: Determinante ungleich null ⟺ voller Rang ⟺ die Inverse existiert.
Häufige Fragen
- Ist der Rechner kostenlos?
- Ja, ohne Konto und ohne Begrenzung der Anzahl der Rechnungen. Finanziert wird er über Werbung.
- Werden meine Matrizen irgendwohin übertragen?
- Nein. Jede Rechnung läuft in Ihrem Browser in JavaScript ab; die Zahlen verlassen Ihr Gerät nicht. Mit dem Schließen des Tabs sind sie weg.
- Warum zeigt der Rechenweg Brüche statt Dezimalzahlen?
- Er rechnet mit exakter rationaler Arithmetik, damit aus 3/5 nicht 0,6000000001 wird. Sie können jederzeit auf Dezimalzahlen umschalten.
- Wie groß darf die Matrix sein?
- 50×50 für Ergebnisse. Der Rechenweg endet bei 8×8 — darüber wären es Hunderte von Zwischenmatrizen, die nichts mehr erklären.
- Warum gibt es für Eigenwerte keinen Rechenweg?
- Sie werden mit iterativen numerischen Verfahren bestimmt, mit Jacobi und QR. Deren Zwischenwerte sind Rundungsartefakte und kein Gedankengang, den man von Hand nachvollziehen könnte.
- Kann ich eine Rechnung mit jemandem teilen?
- Ja. Klicken Sie neben dem Ergebnis auf „Link kopieren“, dann trägt die URL Ihre Matrizen mit sich.
Die Verfahren verstehen
Zu jeder Operation gibt es eine Anleitung, die die Mathematik dahinter erklärt: Determinanten, die inverse Matrix, Gauß-Elimination, Rang, Matrizenmultiplikation und LU-Zerlegung.