Tragen Sie Ihre Matrix ein — bei einem Gleichungssystem die erweiterte Koeffizientenmatrix — und drücken Sie RREF(A). Der Rechenweg nennt jede Umformung beim Namen.
Zeilenstufenform und reduzierte Zeilenstufenform
In der Zeilenstufenform beginnt jede Zeile weiter rechts als die darüber, und unter jedem führenden Eintrag stehen Nullen. Die reduzierte Form verlangt zusätzlich, dass jeder führende Eintrag eine 1 ist und in seiner Spalte auch darüber nur Nullen stehen. Die reduzierte Form ist eindeutig: Jede Matrix hat genau eine, unabhängig vom Rechenweg.
Das ist der Grund, warum sie sich zum Lösen eignet. Steht ein System in reduzierter Zeilenstufenform, lässt sich die Lösung direkt ablesen, ohne Rückwärtseinsetzen. Spalten ohne führenden Eintrag gehören zu freien Variablen, und ihre Anzahl ist die Dimension des Lösungsraums.
Beispiel
Das System x + 2y − z = −4, 2x + 3y − z = −11, −2x − 3z = 22 als erweiterte Matrix:
| 1 | 2 | −1 | −4 |
| 2 | 3 | −1 | −11 |
| −2 | 0 | −3 | 22 |
| 1 | 0 | 0 | −8 |
| 0 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 1 | −2 |
Rechts steht die Lösung: x = −8, y = 1, z = −2. Eine Zeile der Form 0 = c mit c ungleich null bedeutet dagegen, dass das System unlösbar ist.
Häufige Fehler
- Bei der Stufenform aufhören. Zum direkten Ablesen muss über den Pivots ebenfalls null stehen.
- Eine Zeile mit null multiplizieren. Keine zulässige Umformung: Sie löscht eine Gleichung, statt sie umzuschreiben.
- Die rechte Spalte vergessen. Jede Umformung betrifft die ganze Zeile einschließlich der Konstanten.
- Eine Nullzeile für einen Widerspruch halten. Sie bedeutet eine überflüssige Gleichung, also unendlich viele Lösungen.