Geben Sie Ihre Matrix ein, öffnen Sie den Reiter Zerlegungen und klicken Sie auf RZSF(A). Der Rechenweg öffnet sich von selbst und listet jede Umformung in üblicher Schreibweise auf, sodass Sie den Weg direkt in Ihre Aufzeichnungen übernehmen und finden können, wo Ihr eigener Versuch abgewichen ist. Zeilenstufenform(A) liefert die einfache Gauß-Elimination, Rang(A) den Rang — alle drei entstehen aus demselben Algorithmus, der unten erklärt wird.
Die drei elementaren Zeilenumformungen
Die Elimination ist der nützlichste Algorithmus der linearen Algebra. Rang, Determinante, Inverse und die Lösung eines linearen Gleichungssystems folgen alle aus ihr. Sie beruht auf drei Umformungen, von denen keine die Lösungsmenge des zugrunde liegenden Systems ändert:
- Zwei Zeilen vertauschen:
Z(i) ↔ Z(j) - Eine Zeile mit einem Skalar ungleich null multiplizieren:
Z(i) → k·Z(i) - Ein Vielfaches einer Zeile zu einer anderen addieren:
Z(i) → Z(i) + k·Z(j)
Eine Zeile mit null zu multiplizieren steht nicht auf der Liste und ist nicht zulässig: Das vernichtet eine Gleichung, statt sie umzuschreiben.
Zeilenstufenform
Eine Matrix ist in Zeilenstufenform, wenn:
- Nullzeilen ganz unten stehen;
- jeder erste Eintrag ungleich null (das Pivot) strikt rechts vom Pivot der Zeile darüber liegt;
- alles unterhalb eines Pivots null ist.
| 2 | 1 | −1 |
| 0 | 3 | 2 |
| 0 | 0 | 5 |
Reduzierte Zeilenstufenform
Die reduzierte Form geht weiter: Jedes Pivot ist 1 und der einzige Eintrag ungleich null in seiner Spalte. Entscheidend ist: Jede Matrix hat genau eine reduzierte Zeilenstufenform — das Ergebnis hängt nicht davon ab, in welcher Reihenfolge Sie umgeformt haben. Diese Eindeutigkeit macht sie zu einem verlässlichen Vergleichsmaßstab für Ihren eigenen Rechenweg.
Der Algorithmus, Schritt für Schritt
- Beginnen Sie oben links. Suchen Sie den größten Eintrag der aktuellen Spalte — das ist die Spaltenpivotisierung, und sie hält Rundungsfehler klein.
- Ist die ganze Spalte null, gehen Sie eine Spalte weiter und versuchen es erneut.
- Tauschen Sie diese Zeile in die Pivotposition.
- Teilen Sie die Pivotzeile durch das Pivot, damit es 1 wird.
- Ziehen Sie Vielfache der Pivotzeile von allen anderen ab, um den Rest der Spalte zu leeren.
- Gehen Sie eine Zeile hinunter und eine Spalte weiter und wiederholen Sie.
Wenden Sie Schritt 5 nur auf die Zeilen unter dem Pivot an, erhalten Sie die Gauß-Elimination und die Zeilenstufenform. Räumen Sie auch darüber auf, erhalten Sie Gauß-Jordan und die reduzierte Form. Gauß-Jordan rechnet mehr; dafür lässt sich die Lösung ohne Rückwärtseinsetzen ablesen.
Beispiel
| 1 | 2 | 1 |
| 2 | 4 | 3 |
| 3 | 6 | 5 |
| 1 | 2 | 0 |
| 0 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 |
Die zweite Spalte erhält nie ein Pivot, ihre Variable ist also frei — und die Nullzeile bestätigt, dass die dritte Gleichung nichts Neues beitrug. Aus der Form abgelesen: Der Rang ist 2, und ein System mit dieser Koeffizientenmatrix hat unendlich viele Lösungen mit einem freien Parameter.
Ein lineares Gleichungssystem lösen
Geben Sie das System als erweiterte Matrix ein: eine Zeile je Gleichung, eine Spalte je Unbekannte und eine letzte Spalte für die rechte Seite. Drei Gleichungen mit drei Unbekannten ergeben eine 3×4-Matrix. Jede Umformung gilt für die ganze Zeile, die rechte Seite eingeschlossen. Nehmen Sie x + 2y − z = −4, 2x + 3y − z = −11, −2x − 3z = 22:
| 1 | 2 | −1 | −4 |
| 2 | 3 | −1 | −11 |
| −2 | 0 | −3 | 22 |
| 1 | 2 | −1 | −4 |
| 0 | −1 | 1 | −3 |
| 0 | 0 | −1 | 2 |
Die letzte Zeile besagt −z = 2, also z = −2. Rückwärts eingesetzt folgt y = 1 und dann x = −8. Die drei möglichen Ausgänge lassen sich an der reduzierten Form ablesen:
- Eindeutige Lösung: Jede Spalte der Koeffizientenmatrix hat ein Pivot.
- Unendlich viele: Eine Spalte bleibt ohne Pivot — diese Variablen sind frei.
- Keine Lösung: Eine Zeile lautet
0 0 0 | cmitc ≠ 0und behauptet 0 = c.
Rang: zählen, was übrig bleibt
Der Rang einer Matrix ist die Anzahl linear unabhängiger Zeilen — gleichbedeutend: linear unabhängiger Spalten. Diese beiden Zahlen sind immer gleich, ein Satz, der wichtig genug ist, um einen Namen zu tragen: Zeilenrang gleich Spaltenrang. Zum Berechnen formen Sie um und zählen die Zeilen ungleich null. Zeilenumformungen ändern den Rang nie, und genau deshalb funktioniert das.
| 1 | 2 | 3 |
| 4 | 5 | 6 |
| 5 | 7 | 9 |
| 1 | 2 | 3 |
| 0 | −3 | −6 |
| 0 | 0 | 0 |
Hier ist die dritte Zeile genau die erste plus die zweite, trägt also nichts bei, und die Elimination macht sie zu null. Bei einer m×n-Matrix gilt Rang ≤ min(m, n); eine Matrix, die diese Schranke erreicht, hat vollen Rang. Bei einer quadratischen Matrix ist voller Rang dasselbe wie invertierbar zu sein und dasselbe wie eine Determinante ungleich null — drei Formulierungen einer Eigenschaft.
Der Rang entscheidet auch darüber, ob ein System überhaupt lösbar ist. Der Satz von Kronecker-Capelli besagt, dass Ax = b genau dann lösbar ist, wenn Rang(A) = Rang([A | b]); stimmt dieser gemeinsame Rang mit der Zahl der Unbekannten überein, ist die Lösung eindeutig, andernfalls gibt es n − Rang freie Parameter. Die zugehörige Identität ist der Rangsatz: Rang(A) + Defekt(A) = n.
Häufige Fehler
- Bei der einfachen Zeilenstufenform aufhören. Nur unter jedem Pivot zu leeren, ergibt die Zeilenstufenform. Die reduzierte Form räumt auch darüber auf.
- Ein Pivot ungleich 1 stehen lassen. Die reduzierte Form verlangt, jede Pivotzeile durch ihr Pivot zu teilen.
- Spalten vertauschen. Zeilen zu tauschen ist erlaubt; Spalten zu tauschen ändert, welche Variable welche ist.
- Die widersprüchliche Zeile übersehen. Eine Zeile
0 0 0 | cmit c ≠ 0 heißt, dass das System überhaupt keine Lösung hat. - Eine Nullzeile für Unlösbarkeit halten. Eine Zeile aus lauter Nullen ist eine überflüssige Gleichung, es gibt also unendlich viele Lösungen. Nur
0 = cmit c ungleich null heißt: keine. - Die Zeilen ungleich null zu früh zählen. Zeilen zeigen sich erst als abhängig, wenn die Elimination fertig ist. Erst vollständig umformen, dann zählen.