Escribe tu matriz, abre la pestaña Descomposiciones y pulsa FERF(A). El panel de pasos se abre solo y enumera cada operación en notación estándar, así que puedes copiar el desarrollo directamente a tus apuntes y localizar dónde se desvió tu intento. Pulsa Forma escalonada(A) para la eliminación gaussiana simple, o rango(A) para el rango: los tres salen del mismo algoritmo, explicado abajo.
Las tres operaciones elementales de fila
El escalonamiento es el algoritmo más útil del álgebra lineal. El rango, el determinante, la inversa y la solución de un sistema lineal salen todos de él. Se apoya en tres operaciones, y ninguna cambia el conjunto de soluciones del sistema subyacente:
- Intercambiar dos filas:
F(i) ↔ F(j) - Multiplicar una fila por un escalar no nulo:
F(i) → k·F(i) - Sumar un múltiplo de una fila a otra:
F(i) → F(i) + k·F(j)
Multiplicar una fila por cero no está en la lista, y no es legal: destruye una ecuación en lugar de reescribirla.
Forma escalonada por filas
Una matriz está en forma escalonada cuando:
- las filas totalmente nulas quedan abajo;
- cada primer elemento no nulo (el pivote) está estrictamente a la derecha del pivote de la fila superior;
- todo lo que hay debajo de un pivote es cero.
| 2 | 1 | −1 |
| 0 | 3 | 2 |
| 0 | 0 | 5 |
Forma escalonada reducida
La forma reducida va más allá: todo pivote vale 1 y es el único elemento no nulo de su columna. Y lo más importante: cada matriz tiene exactamente una forma escalonada reducida, así que el resultado no depende del orden en que hayas hecho las operaciones. Esa unicidad es lo que la convierte en una respuesta fiable con la que comparar tu desarrollo.
El algoritmo, paso a paso
- Empieza arriba a la izquierda. Busca el mayor elemento de la columna actual: eso es el pivoteo parcial, y mantiene pequeños los errores de redondeo.
- Si toda la columna es cero, avanza una columna y vuelve a intentarlo.
- Sube esa fila a la posición del pivote.
- Divide la fila del pivote por el propio pivote, para que valga 1.
- Resta múltiplos de la fila del pivote a las demás para anular el resto de la columna.
- Baja una fila, avanza una columna y repite.
Aplicando el paso 5 solo a las filas por debajo del pivote tienes la eliminación gaussiana y la forma escalonada. Limpiando también las de arriba tienes Gauss-Jordan y la forma reducida. Gauss-Jordan hace más aritmética; a cambio, la solución se lee sin sustitución regresiva.
Ejemplo resuelto
| 1 | 2 | 1 |
| 2 | 4 | 3 |
| 3 | 6 | 5 |
| 1 | 2 | 0 |
| 0 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 |
La segunda columna nunca recibe pivote, así que su variable es libre, y la fila nula confirma que la tercera ecuación no aportaba información nueva. Leyendo la forma: el rango es 2, y un sistema con esta matriz de coeficientes tiene infinitas soluciones con un parámetro libre.
Resolver un sistema lineal
Introduce el sistema como matriz ampliada: una fila por ecuación, una columna por incógnita y una columna final para los términos independientes. Tres ecuaciones con tres incógnitas dan una matriz 3×4. Cada operación de fila se aplica a la fila completa, columna de términos independientes incluida. Toma x + 2y − z = −4, 2x + 3y − z = −11, −2x − 3z = 22:
| 1 | 2 | −1 | −4 |
| 2 | 3 | −1 | −11 |
| −2 | 0 | −3 | 22 |
| 1 | 2 | −1 | −4 |
| 0 | −1 | 1 | −3 |
| 0 | 0 | −1 | 2 |
La última fila dice −z = 2, así que z = −2. Sustituyendo hacia arriba se obtiene y = 1 y luego x = −8. Los tres desenlaces posibles se leen en la forma reducida:
- Solución única: todas las columnas de la matriz de coeficientes tienen pivote.
- Infinitas soluciones: alguna columna se queda sin pivote; esas variables son libres.
- Sin solución: aparece una fila
0 0 0 | cconc ≠ 0, que afirma que 0 = c.
Rango: contar lo que sobrevive
El rango de una matriz es el número de filas linealmente independientes o, equivalentemente, de columnas linealmente independientes. Esos dos números siempre coinciden, un hecho lo bastante importante como para tener nombre: el teorema de que el rango por filas es igual al rango por columnas. Para calcularlo, escalona y cuenta las filas no nulas. Las operaciones de fila nunca cambian el rango, y justo por eso funciona.
| 1 | 2 | 3 |
| 4 | 5 | 6 |
| 5 | 7 | 9 |
| 1 | 2 | 3 |
| 0 | −3 | −6 |
| 0 | 0 | 0 |
Aquí la tercera fila es exactamente la primera más la segunda, así que no aporta nada nuevo y la eliminación la anula. En una matriz m×n, rango ≤ mín(m, n); la matriz que alcanza esa cota tiene rango completo. En una matriz cuadrada, tener rango completo es lo mismo que ser invertible y lo mismo que tener determinante no nulo: tres formas de decir una misma propiedad.
El rango es además lo que decide si un sistema tiene solución. El teorema de Rouché–Frobenius dice que Ax = b es compatible exactamente cuando rango(A) = rango([A | b]); si ese rango común coincide con el número de incógnitas la solución es única, y si no hay n − rango parámetros libres. La identidad compañera es el teorema del rango y la nulidad: rango(A) + nulidad(A) = n.
Errores frecuentes
- Detenerse en la forma escalonada simple. Anular solo lo que está debajo de cada pivote da la escalonada. La reducida limpia también lo de arriba.
- Dejar un pivote distinto de 1. La forma reducida exige dividir cada fila pivote por su propio pivote.
- Intercambiar columnas. Intercambiar filas está permitido; intercambiar columnas cambia qué variable es cuál.
- No ver la fila incompatible. Una fila
0 0 0 | ccon c ≠ 0 significa que el sistema no tiene ninguna solución. - Llamar incompatible a un sistema por una fila nula. Una fila toda a cero es una ecuación redundante, así que hay infinitas soluciones. Solo
0 = ccon c no nulo significa ninguna. - Contar las filas no nulas antes de terminar. Las filas solo se revelan dependientes cuando la eliminación acaba. Escalona del todo y luego cuenta.