Drücken Sie LU(A) und öffnen Sie den Rechenweg: Dort entstehen L und U nebeneinander, zusammen mit der Permutationsmatrix P, falls Zeilen getauscht werden mussten.
Wozu die Zerlegung dient
A = L·U schreibt eine Matrix als Produkt einer unteren und einer oberen Dreiecksmatrix. Das ist die Gauß-Elimination, nur aufbewahrt: U ist das Ergebnis der Elimination, L merkt sich die dabei verwendeten Faktoren.
Der Nutzen zeigt sich, sobald mehrere rechte Seiten zu lösen sind. Ax = b zerfällt in Ly = b und Ux = y, zwei Dreieckssysteme, die sich durch Vorwärts- und Rückwärtseinsetzen in n² Schritten lösen lassen. Die teure Zerlegung fällt nur einmal an, danach kostet jedes weitere b fast nichts — deshalb rechnen numerische Bibliotheken so und invertieren die Matrix nicht.
Beispiel
| 4 | 3 |
| 6 | 3 |
| 1 | 0 |
| 1,5 | 1 |
| 4 | 3 |
| 0 | −1,5 |
Die 1,5 in L ist genau der Faktor, mit dem die erste Zeile multipliziert und von der zweiten abgezogen wurde. Die Determinante ist das Produkt der Diagonale von U, mal −1 für jeden Zeilentausch — bei einer bereits zerlegten Matrix ist sie also gratis.
Häufige Fehler
- Die Permutationsmatrix übersehen. Mit Pivotisierung gilt P·A = L·U, nicht A = L·U.
- Eine eindeutige Zerlegung erwarten. Erst die Festlegung, dass L auf der Diagonale nur Einsen trägt, macht sie eindeutig.
- Sie auf rechteckige Matrizen anwenden. In dieser Form ist die LU-Zerlegung für quadratische Matrizen gedacht.
- Ohne Pivotisierung rechnen. Eine null an der Pivotstelle bringt das Verfahren zum Stehen, ein sehr kleiner Wert ruiniert die Genauigkeit.