اضغط LU(A) ثم افتح لوح الخطوات: هناك تُبنى L و U جنبًا إلى جنب، ومعهما مصفوفة التبديل P إذا اقتضى الأمر تبديل صفوف.
فيم يُستعمل التحليل
تكتب الصيغة A = L·U المصفوفة جداءَ مصفوفة مثلثية سفلى في مصفوفة مثلثية عليا. وهو في جوهره حذف غاوس محفوظًا: فـ U نتيجة الحذف، و L تحتفظ بالمعاملات التي استُعملت للوصول إليها.
وتظهر الفائدة ما إن تتعدد الأطراف اليمنى. إذ ينقسم النظام Ax = b إلى Ly = b ثم Ux = y، وهما نظامان مثلثيان يُحلّان بالتعويض الأمامي والخلفي في n² عملية. والتحليل المكلف لا يُجرى إلا مرة واحدة، ثم لا يكلف كل طرف أيمن إضافي شيئًا يُذكر — ولهذا تسلك المكتبات العددية هذا المسلك بدل عكس المصفوفة.
مثال محلول
| 4 | 3 |
| 6 | 3 |
| 1 | 0 |
| 1.5 | 1 |
| 4 | 3 |
| 0 | −1.5 |
والعدد 1.5 في L هو بعينه المعامل الذي ضُرب به الصف الأول قبل طرحه من الثاني. والمحدد جداء عناصر قطر U مضروبًا في −1 عن كل تبديل صفوف — أي أنه يأتي مجانًا في مصفوفة محلَّلة سلفًا.
أخطاء شائعة
- إغفال مصفوفة التبديل. مع اختيار العنصر المحوري تصبح العلاقة P·A = L·U لا A = L·U.
- انتظار تحليل وحيد. لا يصير وحيدًا إلا بعد الاتفاق على أن قطر L آحاد كله.
- تطبيقه على مصفوفة مستطيلة. تحليل LU بهذه الصيغة موضوع للمصفوفات المربعة.
- العمل بلا اختيار للعنصر المحوري. فالصفر في الموضع المحوري يوقف الخوارزمية، والقيمة الصغيرة جدًا تفسد الدقة.