اكتب مصفوفتك، وافتح تبويب متقدم، ثم اضغط A⁻¹. وإذا كانت المصفوفة شاذة تصلك رسالة واضحة بدل جواب خاطئ. ويعرض عرض الخطوات القيم الوسيطة على شكل كسور دقيقة — 3/5 لا 0.6000000001 — لأنه يعمل بحساب كسري لا بفاصلة عائمة.
متى يوجد المعكوس
المعكوس A⁻¹ هو المصفوفة التي تُبطل الأصلية: A·A⁻¹ = A⁻¹·A = I. ولا يوجد إلا للمصفوفات المربعة، وإلا حين يكون المحدد غير صفري. والمصفوفة ذات المحدد الصفري تسمى شاذة، ولا معكوس لها البتة — لا كبيرًا ولا تقريبيًا ولا شيء. فقد أتلف التحويل معلومات، ولا مصفوفة تستردها.
اختصار 2×2
بدّل عنصري القطر الرئيسي، واعكس إشارة عنصري القطر الثانوي، ثم اقسم على المحدد:
| a | b |
| c | d |
| d | −b |
| −c | a |
والقسمة على ad − bc هي الموضع الذي يعلن فيه الشذوذ عن نفسه: فإذا كان المحدد صفرًا فلا شيء نقسم عليه، وتنهار الصيغة عند اللحظة نفسها التي ينتفي فيها وجود المعكوس.
غاوس-جوردان على المصفوفة الموسعة
هذه هي الطريقة العامة، وهي التي تعرضها الحاسبة خطوة بخطوة. اكتب A بجوار مصفوفة الوحدة، ثم أجرِ العمليات على الصفوف حتى يصير النصف الأيسر مصفوفة وحدة. وما صار إليه النصف الأيمن هو A⁻¹:
| 4 | 7 | 1 | 0 |
| 2 | 6 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 3/5 | −7/10 |
| 0 | 1 | −1/5 | 2/5 |
وإن صار أحد صفوف الجهة اليسرى أصفارًا كلها في أي لحظة فتوقف: المصفوفة شاذة ولا معكوس لها. وتحقق دائمًا بالضرب — إذ ينبغي أن يعطي A·A⁻¹ مصفوفة الوحدة بالضبط، وزر A × B يؤدي هذا الفحص بنقرتين.
تعطي المصفوفة 3×3 المحمَّلة أعلاه أعدادًا صحيحة، لأن محددها يساوي −1 بالضبط:
| 2 | 1 | 1 |
| 1 | 3 | 2 |
| 1 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 |
| −2 | 1 | 3 |
| 3 | −1 | −5 |
انظر إلى آخر صف في المصفوفة الأصلية: إنه ينتقي الإحداثي الأول ويطرح الآخرَين. وعلى المعكوس أن يعيد تلك المعلومات، ولهذا جاءت عناصره كبيرة قياسًا إلى المصفوفة التي يعكسها. وهذا هو النمط العام — فكلما اقترب المحدد من الصفر كبر المعكوس، ما دام det(A⁻¹) = 1/det(A).
صيغة المصفوفة المرافقة
A⁻¹ = adj(A) / det(A)، حيث المرافقة هي منقول مصفوفة المرافقات الجبرية. كوّن مصفوفة المرافقات C(i,j) = (−1)^(i+j)·M(i,j)، ثم انقلها، ثم اقسم على المحدد.
الصيغة أنيقة وهي التي تستعملها البراهين، لأنها تعبّر عن المعكوس في صورة مغلقة لا كنتيجة خوارزمية. وهي كذلك غير عملية: إذ تحتاج إلى n² محددًا من الرتبة n−1. وفوق 3×3 استعمل غاوس-جوردان.
القريبة من الشذوذ مشكلة بذاتها
لا يلزم أن تكون المصفوفة شاذة لتُتعب. فإذا كان محددها صغيرًا فحسب قياسًا إلى حجم عناصرها كانت سيئة الاشتراط: يُحدث تغيّر ضئيل في المدخل تغيّرًا هائلًا في المعكوس، وقد يكون ذلك التغيّر في حساب الفاصلة العائمة خطأ تقريب محضًا. وحلّ نظام عبر معكوس كهذا قد يعطي جوابًا ليس فيه رقم صحيح واحد، ويبدو مع ذلك معقولًا تمامًا.
وهذا هو السبب العملي للنصيحة التالية. أما عرض الخطوات هنا فيتفادى المشكلة كلها بعمله في كسور دقيقة، فما تقرؤه هو المعكوس الحقيقي لا تقريبًا له.
لماذا نادرًا ما تريد المعكوس نفسه
في أغلب الأحوال ليس المعكوس هو الغاية — بل حلّ Ax = b — وما المعكوس إلا الطريق الذي علق في الذاكرة من الدرس. وهو الطريق المكلف. فحساب A⁻¹ ثم الضرب يكلف نحو ثلاثة أضعاف حساب اختزال [A | b] مباشرة، ويفقد الدقة في مرحلتين بدل واحدة.
ويستحق المعكوس مكانه حين تكون حاجتك إلى المصفوفة نفسها لا إلى حلّ واحد: لقراءة أثر كل مدخل في كل مخرج، أو لتركيبه مع تحويلات أخرى، أو لإدخاله في صيغة مكتوبة بدلالة A⁻¹. فإن كنت لا تريد إلا x فاستعمل الاختزال، وإن كنت تريد حلولًا كثيرة للمصفوفة A نفسها فاستعمل تحليل LU، وهو أرخص منهما.
أخطاء شائعة
- عكس العناصر واحدًا واحدًا. المعكوس ليس مصفوفة المقلوبات — و
1/a(i,j)لا صلة له به. - الخطأ في الترتيب.
(A·B)⁻¹ = B⁻¹·A⁻¹لاA⁻¹·B⁻¹. - حلّ الأنظمة بالمعكوس. في
Ax = bيكون اختزال[A | b]أقل عمليات وأدق عدديًا. - استعمال المرافقة في المصفوفات الكبيرة. تحتاج إلى
n²محددًا من الرتبةn−1، وهي فوق 3×3 أبطأ من الحذف بكثير. - الخلط بين المعكوس والمنقول. لا يتطابقان إلا في المصفوفات المتعامدة، وفي العموم لا رابط بينهما.