Saisissez votre matrice, ouvrez l’onglet Avancé et appuyez sur A⁻¹. Si la matrice est singulière, vous obtenez un message clair plutôt qu’un résultat faux. Le panneau détaillé affiche les valeurs intermédiaires en fractions exactes — 3/5 plutôt que 0,6000000001 — parce qu’il travaille en arithmétique rationnelle et non en virgule flottante.
Quand l’inverse existe
L’inverse A⁻¹ est la matrice qui défait la matrice de départ : A·A⁻¹ = A⁻¹·A = I. Elle n’existe que pour les matrices carrées, et seulement quand le déterminant est non nul. Une matrice de déterminant nul est dite singulière et n’a aucun inverse — ni grand, ni approché, aucun. La transformation a détruit de l’information, et aucune matrice ne la restitue.
Le raccourci 2×2
Échangez la diagonale principale, changez le signe de l’anti-diagonale, divisez par le déterminant :
| a | b |
| c | d |
| d | −b |
| −c | a |
La division par ad − bc est l’endroit où la singularité se signale : si le déterminant est nul, il n’y a rien par quoi diviser, et la formule s’effondre exactement quand l’inverse cesse d’exister.
Gauss-Jordan sur la matrice augmentée
C’est la méthode générale, et celle que le calculateur détaille pas à pas. Écrivez A à côté de la matrice identité, puis enchaînez les opérations sur les lignes jusqu’à ce que la moitié gauche devienne l’identité. Ce qu’est devenue la moitié droite est A⁻¹ :
| 4 | 7 | 1 | 0 |
| 2 | 6 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 3/5 | −7/10 |
| 0 | 1 | −1/5 | 2/5 |
Si à un moment une ligne de gauche devient entièrement nulle, arrêtez-vous : la matrice est singulière et l’inverse n’existe pas. Vérifiez toujours par multiplication — A·A⁻¹ doit donner exactement l’identité, et le bouton A × B fait ce contrôle en deux clics.
La 3×3 chargée ci-dessus donne des entiers, car son déterminant vaut exactement −1 :
| 2 | 1 | 1 |
| 1 | 3 | 2 |
| 1 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 |
| −2 | 1 | 3 |
| 3 | −1 | −5 |
Regardez la dernière ligne de la matrice d’origine : elle retient la première coordonnée et jette les deux autres. L’inverse doit restituer cette information, d’où des coefficients grands par rapport à ceux de la matrice qu’elle inverse. C’est le schéma général — plus le déterminant est proche de zéro, plus l’inverse devient grand, puisque det(A⁻¹) = 1/det(A).
La formule de la comatrice
A⁻¹ = adj(A) / det(A), où l’adjointe est la transposée de la comatrice. Construisez la matrice des cofacteurs C(i,j) = (−1)^(i+j)·M(i,j), transposez-la, divisez par le déterminant.
Elle est élégante et c’est elle qu’utilisent les démonstrations, parce qu’elle exprime l’inverse sous forme close plutôt que comme le résultat d’un algorithme. Elle est aussi impraticable : elle demande n² déterminants de taille n−1. Au-delà du 3×3, utilisez Gauss-Jordan.
Presque singulière est déjà un problème
Une matrice n’a pas besoin d’être singulière pour poser problème. Si le déterminant est simplement petit par rapport à la taille des coefficients, la matrice est mal conditionnée : une variation minime de l’entrée produit une variation énorme de l’inverse, et en virgule flottante cette variation peut n’être qu’une erreur d’arrondi. Résoudre un système par un tel inverse peut rendre une réponse sans un seul chiffre correct, et pourtant d’allure parfaitement crédible.
C’est la raison pratique du conseil qui suit. Le panneau détaillé contourne entièrement le problème en travaillant en fractions exactes : ce que vous lisez est le véritable inverse, et non une approximation flottante.
Pourquoi l’inverse elle-même est rarement le but
La plupart du temps, l’inverse n’est pas l’objectif — résoudre Ax = b l’est — et l’inverse n’est que le chemin retenu du cours. C’est le chemin coûteux. Calculer A⁻¹ puis multiplier coûte environ trois fois les opérations d’une réduction directe de [A | b], et perd de la précision en deux étapes au lieu d’une.
L’inverse mérite sa place quand c’est la matrice elle-même qu’il vous faut, et non une solution : pour lire l’influence de chaque entrée sur chaque sortie, pour la composer avec d’autres transformations, ou pour l’injecter dans une formule écrite en A⁻¹. Si vous ne voulez que x, passez par l’élimination ; s’il vous faut de nombreuses solutions pour la même matrice A, passez par la décomposition LU, encore moins chère.
Erreurs fréquentes
- Inverser les coefficients un à un. L’inverse n’est pas la matrice des inverses —
1/a(i,j)n’a rien à voir. - Se tromper d’ordre.
(A·B)⁻¹ = B⁻¹·A⁻¹, et nonA⁻¹·B⁻¹. - Résoudre un système par l’inverse. Pour
Ax = b, réduire[A | b]demande moins d’opérations et donne plus de précision. - Utiliser la comatrice sur de grandes matrices. Elle exige
n²déterminants d’ordren−1. Au-delà du 3×3, c’est bien plus lent que l’élimination. - Confondre inverse et transposée. Elles ne coïncident que pour les matrices orthogonales. En général, elles n’ont aucun rapport.