Saisissez votre matrice ci-dessus, ouvrez l’onglet Avancé et appuyez sur det(A). Le résultat apparaît aussitôt ; le panneau détaillé montre comment on y arrive et permet de passer d’une méthode à l’autre sur la même matrice — utile quand le cours en impose une en particulier. Ce qui suit explique ce que ce nombre signifie et comment fonctionne chacune de ces méthodes, pour que vous puissiez refaire le calcul à la main.
Ce que dit le déterminant
C’est un nombre unique, défini seulement pour les matrices carrées, et sa fonction principale est de répondre à une question : cette matrice est-elle inversible ? Un déterminant nul signifie que la matrice est singulière — ses lignes sont linéairement dépendantes, elle n’admet pas d’inverse, et un système bâti dessus n’a soit aucune solution, soit une infinité. Toute valeur non nulle signifie que la matrice est inversible.
Géométriquement, c’est le facteur par lequel la transformation dilate l’aire en 2D ou le volume en 3D. Un déterminant de −2 double les aires et inverse l’orientation ; un déterminant nul écrase l’espace sur une droite ou un point, ce qui explique précisément que l’opération soit irréversible. Le signe n’est pas un détail à jeter : il indique si la transformation conserve l’orientation ou la reflète.
La formule 2×2
Pour une matrice 2×2, le déterminant est le produit de la diagonale principale moins celui de l’anti-diagonale :
| a | b |
| c | d |
Ainsi, pour [[1, 2], [3, 4]], le déterminant vaut 1·4 − 2·3 = −2. Les barres verticales sont la notation usuelle du déterminant : ce n’est pas une valeur absolue, et le résultat est très souvent négatif.
La règle de Sarrus (3×3 uniquement)
Pour les matrices 3×3, recopiez les deux premières colonnes à droite de la matrice, additionnez les trois produits descendant vers la droite et retranchez les trois descendant vers la gauche. Sur la matrice chargée ci-dessus :
| 2 | 1 | 3 |
| 0 | 4 | 1 |
| 5 | 2 | 0 |
Sarrus est rapide et facile à retenir, mais elle ne vaut que pour le 3×3. Il n’existe pas de version 4×4, et l’inventer est l’une des erreurs les plus classiques en examen. Au-delà du 3×3, il faut le développement de Laplace ou le pivot.
Développement de Laplace (cofacteurs)
Choisissez une ligne ou une colonne quelconque et écrivez le déterminant comme la somme des coefficients multipliés par leurs cofacteurs. Le cofacteur C(i,j) vaut (−1)^(i+j) fois le mineur — le déterminant de la matrice privée de la ligne i et de la colonne j.
Le développement fonctionne pour toute taille, et c’est la méthode à choisir à la main quand une ligne ou une colonne est presque nulle : chaque zéro supprime un mineur entier avant même qu’on le calcule. Son coût croît toutefois comme n!, ce qui le rend inutilisable sur de grandes matrices — un déterminant 20×20 par cofacteurs demanderait plus d’opérations qu’une personne ne compte d’atomes.
Le pivot de Gauss
C’est ce que fait un ordinateur, et ce que fait ce calculateur à partir du 4×4. Réduisez la matrice à une forme triangulaire supérieure par opérations élémentaires sur les lignes, puis multipliez la diagonale. Trois règles gardent la comptabilité honnête :
- Échanger deux lignes multiplie le déterminant par −1.
- Multiplier une ligne par k multiplie le déterminant par k.
- Ajouter un multiple d’une ligne à une autre laisse le déterminant inchangé — c’est l’opération de travail, et la raison pour laquelle le pivot revient si peu cher.
Le coût avoisine n³/3 opérations au lieu de n!. La factorisation même qui produit le résultat est la décomposition LU : une seule élimination vous donne donc le déterminant et les facteurs à la fois.
La méthode de Montante
Aussi appelée algorithme de Bareiss, ou élimination sans fractions. Elle mène la même élimination que ci-dessus, mais divise après chaque étape tous les coefficients par le pivot précédent. Cette division tombe toujours juste, si bien qu’une matrice d’entiers reste entière du début à la fin — aucune fraction n’apparaît nulle part, et le dernier pivot est le déterminant lui-même.
À la main, c’est la méthode qui garde le calcul propre sur une matrice d’entiers, puisqu’on ne traîne jamais de dénominateur. C’est aussi celle à choisir quand les coefficients sont exacts et que le résultat doit l’être également. Sélectionnez-la dans le panneau détaillé pour voir la même matrice traitée sans une seule fraction.
Propriétés à retenir
det(Aᵀ) = det(A)— ce qui vaut pour les lignes vaut pour les colonnesdet(A·B) = det(A)·det(B)det(A⁻¹) = 1 / det(A)det(k·A) = kⁿ·det(A)pour une matrice n×n — le scalaire touche chacune des n lignes- Pour une matrice triangulaire, le déterminant est le produit de sa diagonale
- Le déterminant est le produit des valeurs propres, comme la trace en est la somme
Erreurs fréquentes
- Appliquer Sarrus à une 4×4. Il n’existe pas de version 4×4 de la règle. Utilisez le pivot ou les cofacteurs.
- Lire les barres comme une valeur absolue.
|A|est la notation usuelle du déterminant, et il est souvent négatif. - Oublier le signe lors d’un échange de lignes. Chaque échange pendant l’élimination multiplie le déterminant par −1.
- Attendre que
det(A + B) = det(A) + det(B). C’est faux. Les déterminants se multiplient, ils ne s’additionnent pas. - Calculer le déterminant d’une matrice rectangulaire. Il n’est pas défini. Pour une matrice non carrée, c’est presque sûrement le rang qu’il vous faut.