Saisissez votre matrice ci-dessus, ouvrez l’onglet Avancé et appuyez sur det(A). Le résultat apparaît aussitôt ; le détail des étapes montre comment on y arrive et permet de passer d’une méthode à l’autre sur la même matrice — utile quand votre cours en impose une en particulier.
Ce que dit le déterminant
C’est un seul nombre, défini uniquement pour les matrices carrées, et il répond surtout à une question : cette matrice est-elle inversible ? Si le déterminant est nul, la matrice est singulière — ses lignes sont liées, elle n’a pas d’inverse, et un système bâti dessus n’a aucune solution ou en a une infinité. Toute valeur non nulle signifie que la matrice est inversible.
Géométriquement, c’est le facteur par lequel la transformation multiplie les aires en dimension 2 ou les volumes en dimension 3. Un déterminant de −2 double les aires et retourne l’orientation ; un déterminant nul écrase l’espace sur une droite ou un point, ce qui explique précisément pourquoi l’opération ne peut pas être défaite.
Exemple résolu
Pour une matrice 3×3, la règle de Sarrus additionne les trois produits descendant vers la droite et retranche les trois descendant vers la gauche :
| 2 | 1 | 3 |
| 0 | 4 | 1 |
| 5 | 2 | 0 |
Le calculateur applique les formules fermées jusqu’au 3×3, puis passe à la factorisation LU avec pivot partiel à partir du 4×4 — le développement par cofacteurs coûte n! opérations et devient inutilisable bien avant 50×50.
Erreurs fréquentes
- Appliquer Sarrus à une 4×4. Cette règle n’existe pas en dimension 4. Utilisez l’élimination ou le développement par cofacteurs.
- Lire les barres comme une valeur absolue.
|A|est la notation usuelle du déterminant, et il est très souvent négatif. - Oublier le signe lors d’un échange de lignes. Chaque échange pendant l’élimination multiplie le déterminant par −1.
- Attendre
det(A + B) = det(A) + det(B). C’est faux. Les déterminants se multiplient, ils ne s’additionnent pas.