Remplissez les matrices A et B ci-dessus et appuyez sur A × B. Le bouton est désactivé quand les tailles ne conviennent pas, avec une note indiquant quelles dimensions doivent correspondre. Ouvrez les étapes pour voir chaque coefficient développé en somme de produits, exactement comme vous l’écririez à la main. Le même onglet contient l’addition, la soustraction et la transposée, et les onglets Scalaires et Puissance couvrent k·A et Aⁿ — tout est expliqué ci-dessous.
La règle des dimensions
Pour multiplier une matrice m×n par une n×p, les nombres intérieurs doivent être égaux : les colonnes de A doivent correspondre aux lignes de B. Le résultat est m×p — les nombres extérieurs. C’est pourquoi A × B peut être parfaitement valide alors que B × A n’est même pas défini.
La règle ligne par colonne
Le coefficient (i, j) du produit est le produit scalaire de la ligne i de A par la colonne j de B :
c(i,j) = a(i,1)·b(1,j) + a(i,2)·b(2,j) + … + a(i,n)·b(n,j)
| 1 | 2 |
| 3 | 4 |
| 5 | 6 |
| 7 | 8 |
| 19 | 22 |
| 43 | 50 |
Vérifiez le premier coefficient : 1·5 + 2·7 = 19. Chacun des quatre coefficients est son propre petit produit scalaire, et le calculateur écrit les quatre développements dans le panneau détaillé.
AB n’est pas BA
La multiplication de matrices n’est pas commutative. Souvent BA n’est même pas défini, et quand les deux produits existent ce sont généralement des matrices différentes. Inverser l’ordre d’un produit de transformations change réellement ce qui se passe : tourner puis réfléchir n’est pas réfléchir puis tourner. Appuyez sur les deux boutons avec le même couple et comparez.
Autre avertissement : A·B = 0 n’implique pas que A ou B soit nulle. Les matrices ont des diviseurs de zéro, contrairement aux nombres ordinaires.
Ce qui reste vrai
- Associativité :
(A·B)·C = A·(B·C) - Distributivité :
A·(B + C) = A·B + A·C - Identité :
I·A = A·I = A - La transposée inverse l’ordre :
(A·B)ᵀ = Bᵀ·Aᵀ - Les déterminants se multiplient :
det(A·B) = det(A)·det(B) - Le rang ne peut pas croître :
rg(A·B) ≤ min(rg(A), rg(B))
Addition, soustraction et scalaires
L’addition et la soustraction sont les opérations qui se comportent exactement comme on l’espère : coefficient par coefficient, sans surprise. Les deux matrices doivent avoir les mêmes dimensions — une 2×3 ne s’ajoute qu’à une autre 2×3 — et le résultat conserve ces dimensions.
| 1 | 2 |
| 3 | 4 |
| 5 | 6 |
| 7 | 8 |
| 6 | 8 |
| 10 | 12 |
Parce qu’elle travaille position par position, l’addition hérite de l’arithmétique que vous connaissez déjà : A + B = B + A, et le regroupement d’une somme à trois termes n’a pas d’importance. C’est un contraste réel avec la multiplication. La soustraction est l’addition de l’opposé, donc A − B vaut A + (−1)·B, et l’ordre compte de la façon ordinaire dont 5 − 3 diffère de 3 − 5.
La multiplication par un scalaire dilate chaque coefficient par le même nombre, sans aucune contrainte de forme. Une conséquence surprend presque tout le monde : dilater une matrice ne multiplie pas son déterminant par k. Pour une matrice n×n, det(k·A) = kⁿ·det(A), parce que chacune des n lignes est dilatée et que le déterminant est multiplié une fois pour chacune. Doubler une 3×3 multiplie son déterminant par huit. La trace, simple somme, se comporte comme prévu : tr(k·A) = k·tr(A).
Transposée
Transposer, c’est refléter la matrice par rapport à sa diagonale principale : le coefficient de la ligne i, colonne j passe en ligne j, colonne i. Une matrice m×n devient n×m, l’opération est donc définie pour toute forme. Un vecteur colonne devient un vecteur ligne, et c’est pourquoi xᵀy est la manière standard d’écrire un produit scalaire.
| 1 | 2 | 3 |
| 4 | 5 | 6 |
| 1 | 4 |
| 2 | 5 |
| 3 | 6 |
Trois identités méritent d’être sues par cœur. Transposer deux fois redonne l’original : (Aᵀ)ᵀ = A. Transposer une somme se distribue : (A + B)ᵀ = Aᵀ + Bᵀ. Mais transposer un produit en inverse l’ordre : (A·B)ᵀ = Bᵀ·Aᵀ, et non Aᵀ·Bᵀ. L’inversion est imposée par les formats — si A est 2×3 et B est 3×4, alors Aᵀ est 3×2 et Bᵀ est 4×3, et seul Bᵀ·Aᵀ a des dimensions compatibles. Une matrice égale à sa propre transposée est dite symétrique, et les matrices symétriques sont remarquablement dociles : leurs valeurs propres sont toujours réelles, et ce sont elles auxquelles s’applique la décomposition de Cholesky.
Puissances
Aⁿ signifie multiplier A par elle-même n fois, et n’a de sens que pour les matrices carrées. A⁰ est l’identité, et non une matrice nulle, et A¹ est A elle-même.
| 1 | 1 |
| 0 | 1 |
| 1 | 2 |
| 0 | 1 |
| 1 | n |
| 0 | 1 |
Élever au carré ne se fait pas coefficient par coefficient : le coin supérieur droit vaut 1·1 + 1·1 = 2, et non 1² = 1. Le calculateur utilise l’exponentiation rapide, si bien que A¹⁶ coûte quatre multiplications au lieu de quinze. Les puissances apparaissent partout où un processus se répète : dans une chaîne de Markov, si P contient les probabilités de transition d’un pas, Pⁿ contient celles de n pas. Dans une matrice d’adjacence, le coefficient (i, j) de Aⁿ compte les chemins de longueur n de i à j. Pour de très grands exposants, diagonalisez : si A = P·D·P⁻¹ avec D diagonale, alors Aⁿ = P·Dⁿ·P⁻¹, ce qui commence par les valeurs propres.
Erreurs fréquentes
- Multiplier coefficient par coefficient. La multiplication de matrices n’est pas
a(i,j)·b(i,j). Cette opération existe — le produit de Hadamard — mais ce n’est pas ce que signifieA × B. - Supposer que AB = BA. La multiplication de matrices n’est pas commutative.
- Conclure qu’un facteur est nul.
A·B = 0ne signifie pas que A ou B est nulle. - Écrire (A·B)ᵀ = Aᵀ·Bᵀ. L’ordre s’inverse. C’est l’erreur la plus courante avec les transposées.
- Élever chaque coefficient à la puissance. A² vaut A·A, et non la matrice des carrés. Les deux coïncident seulement pour les matrices diagonales.
- Ajouter un scalaire à une matrice. A + 3 n’a pas de sens. Pour ajouter 3 sur la diagonale, ajoutez 3·I.