املأ المصفوفتين A و B في الأعلى ثم اضغط A × B. ويُعطَّل الزر حين لا تتوافق الأحجام، مع ملاحظة تبيّن أي الأبعاد ينبغي أن تتطابق. وافتح الخطوات لترى كل عنصر منشورًا مجموعَ جداءات، تمامًا كما كنت ستكتبه بيدك. وفي التبويب نفسه الجمع والطرح والمنقول، أما تبويبا السلالم و القوة فيغطيان k·A وAⁿ — وكل ذلك مشروح أدناه.
قاعدة الأبعاد
لضرب مصفوفة m×n في مصفوفة n×p ينبغي أن يتساوى العددان الداخليان: أعمدة A مع صفوف B. والناتج m×p، أي العددان الخارجيان. ولهذا قد يكون A × B سليمًا تمامًا بينما B × A غير معرَّف أصلًا.
قاعدة صف في عمود
العنصر (i, j) من الجداء هو الجداء السلمي للصف i من A في العمود j من B:
c(i,j) = a(i,1)·b(1,j) + a(i,2)·b(2,j) + … + a(i,n)·b(n,j)
| 1 | 2 |
| 3 | 4 |
| 5 | 6 |
| 7 | 8 |
| 19 | 22 |
| 43 | 50 |
تحقق من العنصر الأول: 1·5 + 2·7 = 19. فكل عنصر من العناصر الأربعة جداء سلمي قائم بذاته، والحاسبة تطبع النشرات الأربعة في عرض الخطوات.
AB ليس BA
ضرب المصفوفات غير إبدالي. وكثيرًا ما يكون BA غير معرَّف أصلًا، وحين يوجد الجداءان يكونان عادةً مصفوفتين مختلفتين. فعكس ترتيب جداء تحويلات يغيّر ما يحدث فعلًا: الدوران ثم الانعكاس ليس كالانعكاس ثم الدوران. اضغط الزرين على الزوج نفسه وقارن.
وتحذير آخر: A·B = 0 لا يعني أن A أو B صفرية. فللمصفوفات قواسم صفر، بخلاف الأعداد المعتادة.
ما يبقى صحيحًا
- التجميع:
(A·B)·C = A·(B·C) - التوزيع:
A·(B + C) = A·B + A·C - المحايد:
I·A = A·I = A - المنقول يعكس الترتيب:
(A·B)ᵀ = Bᵀ·Aᵀ - المحددات تتضارب:
det(A·B) = det(A)·det(B) - الرتبة لا تكبر:
rank(A·B) ≤ min(rank(A), rank(B))
الجمع والطرح والضرب في عدد
الجمع والطرح عمليتان تتصرفان تمامًا كما ترجو: عنصرًا بعنصر، بلا مفاجآت. وينبغي أن تتساوى أبعاد المصفوفتين — فالمصفوفة 2×3 لا تُجمع إلا مع 2×3 أخرى — ويحتفظ الناتج بتلك الأبعاد.
| 1 | 2 |
| 3 | 4 |
| 5 | 6 |
| 7 | 8 |
| 6 | 8 |
| 10 | 12 |
ولأن العملية تجري بحسب المواضع، يرث الجمع الحسابَ الذي تعرفه: A + B = B + A، ولا يهم تجميع مجموع ثلاثي. وهذا تباين حقيقي مع الضرب. أما الطرح فهو جمع النظير، إذ إن A − B تساوي A + (−1)·B، والترتيب يهم بالمعنى المعتاد الذي يختلف به 5 − 3 عن 3 − 5.
والضرب في عدد يحجّم كل عنصر بالعدد نفسه، بلا أي شرط على الشكل. ونتيجة واحدة تفاجئ الجميع تقريبًا: تحجيم المصفوفة لا يضرب محددها في k. ففي مصفوفة n×n يكون det(k·A) = kⁿ·det(A)، لأن كل صف من الصفوف الـ n يُحجَّم ويُضرب المحدد مرة عن كل صف. فمضاعفة مصفوفة 3×3 تضاعف محددها ثماني مرات. أما الأثر، وهو مجموع بسيط، فيتصرف كما تتوقع: tr(k·A) = k·tr(A).
المنقول
النقل يعكس المصفوفة حول قطرها الرئيسي: فالعنصر في الصف i والعمود j ينتقل إلى الصف j والعمود i. وتصير المصفوفة m×n مصفوفةً n×m، فالعملية معرَّفة لأي شكل. ويصير المتجه العمودي متجهًا صفيًا، ولهذا كان xᵀy هو الكتابة المعتادة للجداء السلمي.
| 1 | 2 | 3 |
| 4 | 5 | 6 |
| 1 | 4 |
| 2 | 5 |
| 3 | 6 |
وثلاث متطابقات تستحق الحفظ. النقل مرتين يعيد الأصل: (Aᵀ)ᵀ = A. والنقل يتوزع على المجموع: (A + B)ᵀ = Aᵀ + Bᵀ. لكنه في الجداء يعكس الترتيب: (A·B)ᵀ = Bᵀ·Aᵀ لا Aᵀ·Bᵀ. والعكس تفرضه الأشكال — فإن كانت A من الحجم 2×3 و B من 3×4، فإن Aᵀ من 3×2 و Bᵀ من 4×3، ولا يتوافق في الأبعاد إلا Bᵀ·Aᵀ. والمصفوفة المساوية لمنقولها تسمى متماثلة، والمصفوفات المتماثلة حسنة السلوك إلى حد غير معتاد: قيمها الذاتية حقيقية دائمًا، وهي التي ينطبق عليها تحليل تشوليسكي.
القوى
Aⁿ تعني ضرب A في نفسها n مرة، ولا معنى لها إلا في المصفوفات المربعة. وA⁰ هي مصفوفة الوحدة لا مصفوفة الأصفار، وA¹ هي A نفسها.
| 1 | 1 |
| 0 | 1 |
| 1 | 2 |
| 0 | 1 |
| 1 | n |
| 0 | 1 |
والتربيع ليس عنصرًا بعنصر: فالعنصر الأعلى يمينًا هو 1·1 + 1·1 = 2 لا 1² = 1. وتستعمل الحاسبة الرفع بالتربيع المتتالي، فتكلف A¹⁶ أربع عمليات ضرب بدل خمس عشرة. وتظهر القوى حيثما تكررت عملية: ففي سلسلة ماركوف، إذا حملت P احتمالات الانتقال في خطوة واحدة حملت Pⁿ احتمالات n خطوة. وفي مصفوفة التجاور، يَعُدّ العنصر (i, j) من Aⁿ المسارات ذات الطول n من i إلى j. وللأسس الكبيرة جدًا قطّر المصفوفة: فإن كانت A = P·D·P⁻¹ و D قطرية فإن Aⁿ = P·Dⁿ·P⁻¹، وهذا يبدأ من القيم الذاتية.
أخطاء شائعة
- الضرب عنصرًا بعنصر. ضرب المصفوفات ليس
a(i,j)·b(i,j). وتلك عملية موجودة — جداء هادامارد — لكنها ليست ما يعنيهA × B. - افتراض أن AB = BA. ضرب المصفوفات غير إبدالي.
- استنتاج أن أحد العاملين صفري.
A·B = 0لا تعني أن A أو B صفرية. - كتابة (A·B)ᵀ = Aᵀ·Bᵀ. الترتيب ينعكس، وهذا أشيع زلل في المنقولات.
- رفع كل عنصر إلى القوة. A² هي A·A لا مصفوفة المربعات. ولا يتطابقان إلا في المصفوفات القطرية.
- جمع عدد إلى مصفوفة. A + 3 بلا معنى. ولإضافة 3 على القطر أضف 3·I.