Tragen Sie Ihre Matrix oben ein, öffnen Sie den Reiter Erweitert und drücken Sie det(A). Das Ergebnis erscheint sofort; im Rechenweg sehen Sie, wie es zustande kam, und können zwischen vier Verfahren für dieselbe Matrix wechseln — praktisch, wenn im Unterricht genau eines davon verlangt wird.
Was die Determinante aussagt
Sie ist eine einzige Zahl, nur für quadratische Matrizen definiert, und beantwortet vor allem eine Frage: Ist diese Matrix invertierbar? Ist die Determinante null, so ist die Matrix singulär — ihre Zeilen sind linear abhängig, sie besitzt keine Inverse, und ein darauf aufgebautes Gleichungssystem hat entweder keine oder unendlich viele Lösungen. Jeder Wert ungleich null bedeutet Invertierbarkeit.
Geometrisch ist sie der Faktor, um den die Abbildung Flächen in der Ebene oder Volumen im Raum streckt. Eine Determinante von −2 verdoppelt Flächen und kehrt die Orientierung um; eine Determinante von 0 drückt den Raum auf eine Gerade oder einen Punkt zusammen — genau deshalb lässt sich die Abbildung nicht rückgängig machen.
Beispiel
Bei einer 3×3-Matrix addiert die Regel von Sarrus die drei Produkte nach rechts unten und subtrahiert die drei nach links unten:
| 2 | 1 | 3 |
| 0 | 4 | 1 |
| 5 | 2 | 0 |
Der Rechner nutzt die geschlossenen Formeln für 2×2 und 3×3 und wechselt ab 4×4 zur LU-Zerlegung mit Spaltenpivotisierung — die Laplace-Entwicklung kostet n! Operationen und ist lange vor 50×50 nicht mehr brauchbar.
Häufige Fehler
- Sarrus auf eine 4×4 anwenden. Für 4×4 gibt es diese Regel nicht. Nehmen Sie Elimination oder Laplace-Entwicklung.
- Die Striche als Betrag lesen.
|A|ist die übliche Schreibweise für die Determinante — und sie ist häufig negativ. - Das Vorzeichen beim Zeilentausch vergessen. Jeder Tausch während der Elimination multipliziert die Determinante mit −1.
det(A + B) = det(A) + det(B)erwarten. Das ist falsch. Determinanten multiplizieren sich, sie addieren sich nicht.