Geben Sie Ihre Matrix oben ein, öffnen Sie den Reiter Erweitert und klicken Sie auf det(A). Das Ergebnis erscheint sofort; im Rechenweg sehen Sie, wie es zustande kam, und können für dieselbe Matrix zwischen vier Verfahren wechseln — praktisch, wenn im Kurs eines davon verlangt wurde. Der folgende Text erklärt, was die Zahl bedeutet und wie jedes dieser Verfahren funktioniert, damit Sie das Ergebnis von Hand nachrechnen können.
Was die Determinante aussagt
Sie ist eine einzige Zahl, nur für quadratische Matrizen definiert, und ihre wichtigste Aufgabe ist es, eine Frage zu beantworten: Ist diese Matrix invertierbar? Eine Determinante von null bedeutet, dass die Matrix singulär ist — ihre Zeilen sind linear abhängig, es gibt keine Inverse, und ein damit gebildetes Gleichungssystem hat entweder keine oder unendlich viele Lösungen. Jeder Wert ungleich null bedeutet, dass die Matrix invertierbar ist.
Geometrisch ist sie der Faktor, mit dem die Abbildung Flächen in 2D oder Volumina in 3D streckt. Eine Determinante von −2 verdoppelt Flächen und kehrt die Orientierung um; eine Determinante von 0 drückt den Raum auf eine Gerade oder einen Punkt — genau deshalb lässt sich die Abbildung nicht rückgängig machen. Das Vorzeichen ist kein Detail zum Wegwerfen: Es hält fest, ob die Abbildung die Orientierung erhält oder spiegelt.
Die Formel für 2×2
Bei einer 2×2-Matrix ist die Determinante das Produkt der Hauptdiagonale minus das Produkt der Nebendiagonale:
| a | b |
| c | d |
Für [[1, 2], [3, 4]] ist die Determinante also 1·4 − 2·3 = −2. Die senkrechten Striche sind die übliche Schreibweise für die Determinante — sie bedeuten nicht den Betrag, und das Ergebnis ist häufig negativ.
Die Regel von Sarrus (nur 3×3)
Schreiben Sie bei 3×3-Matrizen die ersten beiden Spalten rechts neben die Matrix, addieren Sie die drei nach rechts unten laufenden Produkte und ziehen Sie die drei nach links unten laufenden ab. Für die oben geladene Matrix:
| 2 | 1 | 3 |
| 0 | 4 | 1 |
| 5 | 2 | 0 |
Sarrus ist schnell und leicht zu merken, gilt aber ausschließlich für 3×3. Eine 4×4-Variante existiert nicht, und sie zu erfinden gehört zu den häufigsten Klausurfehlern. Ab 4×4 brauchen Sie die Laplace-Entwicklung oder die Elimination.
Laplace-Entwicklung (Kofaktoren)
Wählen Sie eine beliebige Zeile oder Spalte und schreiben Sie die Determinante als Summe der Einträge mal ihrer Kofaktoren. Der Kofaktor C(i,j) ist (−1)^(i+j) mal der Minor — die Determinante der Matrix ohne Zeile i und Spalte j.
Die Entwicklung funktioniert in jeder Größe und ist von Hand das Mittel der Wahl, wenn eine Zeile oder Spalte überwiegend Nullen enthält: Jede Null streicht einen ganzen Minor, noch bevor man ihn berechnet. Der Aufwand wächst allerdings wie n! und ist für große Matrizen aussichtslos — eine 20×20-Determinante nach Kofaktoren bräuchte mehr Rechenschritte, als ein Mensch Atome hat.
Gauß-Elimination
Das ist der Weg des Computers und der Weg dieses Rechners ab 4×4. Bringen Sie die Matrix mit elementaren Zeilenumformungen auf obere Dreiecksgestalt und multiplizieren Sie die Diagonale. Drei Regeln halten die Buchführung sauber:
- Ein Zeilentausch multipliziert die Determinante mit −1.
- Eine Zeile mit k zu multiplizieren, multipliziert die Determinante mit k.
- Ein Vielfaches einer Zeile zu einer anderen zu addieren, lässt die Determinante unverändert — das ist die eigentliche Arbeitsoperation und der Grund, warum die Elimination billig ist.
Der Aufwand liegt bei etwa n³/3 Operationen statt n!. Dieselbe Zerlegung, die das Ergebnis liefert, ist die LU-Zerlegung — eine Elimination liefert Ihnen also Determinante und Faktoren zugleich.
Das Verfahren von Montante
Auch Bareiss-Algorithmus oder bruchfreie Elimination genannt. Es führt dieselbe Elimination wie oben durch, teilt aber nach jeder Stufe jeden Eintrag durch das vorherige Pivot. Diese Division geht immer exakt auf, sodass eine ganzzahlige Matrix von Anfang bis Ende ganzzahlig bleibt — es taucht an keiner Stelle ein Bruch auf, und das letzte Pivot ist die Determinante selbst.
Von Hand ist das das Verfahren, das die Rechnung bei einer ganzzahligen Matrix sauber hält, weil man nie einen Nenner mitschleppt. Es ist auch die richtige Wahl, wenn die Einträge exakt sind und das Ergebnis es ebenfalls sein soll. Wählen Sie es im Rechenweg, um dieselbe Matrix ohne einen einzigen Bruch durchgerechnet zu sehen.
Eigenschaften, die man kennen sollte
det(Aᵀ) = det(A)— was für die Zeilen gilt, gilt für die Spaltendet(A·B) = det(A)·det(B)det(A⁻¹) = 1 / det(A)det(k·A) = kⁿ·det(A)bei einer n×n-Matrix — der Skalar trifft jede der n Zeilen- Bei einer Dreiecksmatrix ist die Determinante das Produkt der Diagonale
- Die Determinante ist das Produkt der Eigenwerte, so wie die Spur ihre Summe ist
Häufige Fehler
- Sarrus auf eine 4×4 anwenden. Es gibt keine 4×4-Version der Regel. Nehmen Sie Elimination oder Kofaktoren.
- Die Striche als Betrag lesen.
|A|ist die übliche Schreibweise für die Determinante, und sie ist oft negativ. - Das Vorzeichen beim Zeilentausch vergessen. Jeder Tausch während der Elimination multipliziert die Determinante mit −1.
- Erwarten, dass
det(A + B) = det(A) + det(B). Das ist falsch. Determinanten multiplizieren sich, sie addieren sich nicht. - Die Determinante einer rechteckigen Matrix bilden. Sie ist nicht definiert. Bei nicht quadratischen Matrizen brauchen Sie fast sicher den Rang.