Что такое ранг матрицы?

Ранг как число независимых строк, его вычисление исключением и что полный ранг означает для обратимости и систем уравнений.

Ранг матрицы — это число линейно независимых строк или, что то же самое, линейно независимых столбцов. Эти два числа всегда совпадают, и факт настолько важен, что имеет название: теорема о равенстве строчного и столбцового рангов.

Как его найти

Приведите матрицу к ступенчатому виду и сосчитайте ненулевые строки. Это и есть ранг. Преобразования строк никогда не меняют ранг — именно поэтому приём работает.

Здесь вторая строка была просто удвоенной первой, новой информации она не несёт и обращается в ноль.

Границы и полный ранг

Для матрицы m×n верно ранг ≤ min(m, n). Матрица, достигшая этой границы, имеет полный ранг. Для квадратной матрицы полный ранг — то же самое, что обратимость, и то же самое, что ненулевой определитель: три формулировки одного свойства.

Почему это важно

• Теорема Кронекера–Капелли: система Ax = b совместна ровно тогда, когда ранг(A) = ранг([A | b]). Если этот общий ранг равен числу неизвестных, решение единственно; иначе решений бесконечно много, со свободными параметрами в количестве n − ранг.
• Теорема о ранге и дефекте: ранг(A) + дефект(A) = n, числу столбцов.
• Ранг задаёт размерность образа линейного отображения, то есть показывает, насколько сильно оно сжимает пространство.
• ранг(A·B) ≤ min(ранг(A), ранг(B)) — умножение никогда не создаёт независимости.