Метод Гаусса и метод Гаусса-Жордана

Ступенчатый вид, приведённый ступенчатый вид, ведущие элементы и три элементарных преобразования строк на конкретной матрице.

Исключение — самый полезный алгоритм линейной алгебры. Ранг, определитель, обратная матрица и решение системы уравнений выводятся именно из него. В основе — три элементарных преобразования строк, ни одно из которых не меняет множество решений исходной системы:

1. Поменять две строки местами: С(i) ↔ С(j)
2. Умножить строку на ненулевое число: С(i) → k·С(i)
3. Прибавить к строке кратное другой: С(i) → С(i) + k·С(j)

Ступенчатый вид

Матрица имеет ступенчатый вид, когда:

• полностью нулевые строки стоят внизу;
• каждый первый ненулевой элемент (ведущий) находится строго правее ведущего элемента строки выше;
• всё под ведущим элементом равно нулю.

Приведённый ступенчатый вид

Приведённый вид идёт дальше: каждый ведущий элемент равен 1 и является единственным ненулевым в своём столбце. И главное: у каждой матрицы ровно один приведённый ступенчатый вид — результат не зависит от порядка ваших преобразований.

Алгоритм по шагам

1. Начните с левого верхнего угла. Найдите наибольший по модулю элемент текущего столбца — это частичный выбор ведущего элемента, он удерживает ошибки округления малыми.
2. Если весь столбец нулевой, перейдите к следующему столбцу.
3. Переставьте найденную строку на позицию ведущей.
4. Поделите ведущую строку на ведущий элемент, чтобы он стал равен 1.
5. Вычтите кратные ведущей строки из остальных, обнулив остаток столбца.
6. Спуститесь на строку ниже, сдвиньтесь на столбец правее и повторите.

Если на шаге 5 обнулять только строки ниже ведущей, получится метод Гаусса (ступенчатый вид). Если убрать и то, что выше, — метод Гаусса-Жордана (приведённый вид).

Как прочитать решения

• Единственное решение: в каждом столбце матрицы коэффициентов есть ведущий элемент.
• Бесконечно много: какой-то столбец остался без ведущего элемента — эти переменные свободные.
• Решений нет: появилась строка 0 0 0 | c с c ≠ 0, утверждающая, что 0 = c.