Как работает умножение матриц
Правило «строка на столбец», почему размеры должны совпадать, почему AB ≠ BA и какие свойства всё же сохраняются.
Чтобы умножить A (m×n) на B (n×p), внутренние размеры должны совпадать: число столбцов A обязано равняться числу строк B. Результат имеет размер m×p.
Правило
Элемент (i, j) произведения — это скалярное произведение строки i матрицы A на столбец j матрицы B:
c(i,j) = a(i,1)·b(1,j) + a(i,2)·b(2,j) + … + a(i,n)·b(n,j)
| 1 | 2 |
| 3 | 4 |
| 5 | 6 |
| 7 | 8 |
| 19 | 22 |
| 43 | 50 |
Проверьте первый элемент: 1·5 + 2·7 = 19. Наш калькулятор показывает каждое такое разложение, если открыть панель с пошаговым решением.
AB — это не BA
Умножение матриц некоммутативно. Часто BA вообще не определено, а когда оба произведения существуют, они обычно разные. Перестановка порядка в произведении преобразований действительно меняет результат: повернуть, а потом отразить — не то же самое, что отразить, а потом повернуть.
Что всё-таки выполняется
- Ассоциативность:
(A·B)·C = A·(B·C) - Дистрибутивность:
A·(B + C) = A·B + A·C - Единица:
I·A = A·I = A - Транспонирование меняет порядок:
(A·B)ᵀ = Bᵀ·Aᵀ - Определители перемножаются:
det(A·B) = det(A)·det(B)
И ещё предупреждение: из A·B = 0 не следует, что A или B нулевая. У матриц, в отличие от обычных чисел, есть делители нуля.
Степени
Aⁿ имеет смысл только для квадратных матриц, а A⁰ по определению равна единичной. Вычисление повторным возведением в квадрат — A⁸ = ((A²)²)² — требует 3 умножений вместо 7.