كيف تحسب محدد مصفوفة

أربع طرق لحساب المحدد — صيغة 2×2، وقاعدة ساروس، ونشر لابلاس بالمرافقات، وحذف غاوس — ومتى تُستخدم كل منها.

المحدد عدد واحد مرتبط بمصفوفة مربعة. وهو يجيب قبل كل شيء عن سؤال واحد: هل المصفوفة قابلة للعكس؟ المحدد الصفري يعني أن الصفوف مرتبطة خطيًا، وأن المصفوفة شاذة، وأن المعكوس غير موجود. وهندسيًا، المحدد هو المعامل ذو الإشارة الذي تضاعف به المصفوفة المساحة (2×2) أو الحجم (3×3).

صيغة 2×2

في المصفوفة 2×2، المحدد هو جداء القطر الرئيسي ناقص جداء القطر الثانوي:

إذن محدد [[1, 2], [3, 4]] هو 1·4 − 2·3 = −2. والنتيجة السالبة طبيعية تمامًا: الإشارة تخبرك بأن التحويل يعكس الاتجاه.

قاعدة ساروس (للمصفوفات 3×3 فقط)

في المصفوفات 3×3، انسخ العمودين الأولين إلى يمين المصفوفة، واجمع الجداءات الثلاثة النازلة إلى اليمين، ثم اطرح الثلاثة النازلة إلى اليسار:

قاعدة ساروس سريعة وسهلة الحفظ، لكنها تصلح للمصفوفات 3×3 فقط. ولا توجد نسخة لـ4×4 — وهو خطأ شائع جدًا في الامتحانات.

نشر لابلاس (المرافقات)

اختر أي صف أو عمود، واكتب المحدد مجموعًا لعناصره مضروبة في مرافقاتها. والمرافق C(i,j) يساوي (−1)^(i+j) مضروبًا في الأصغر المرافق — أي محدد المصفوفة بعد حذف الصف i والعمود j.

يصلح النشر بالمرافقات لأي حجم، وهو الطريقة المفضّلة يدويًا عندما يكون في صف أو عمود أصفار كثيرة: كل صفر يلغي أصغرًا كاملًا. غير أن كلفته تنمو مثل n!، فلا أمل فيه مع المصفوفات الكبيرة.

حذف غاوس

هذا ما يفعله الحاسوب. حوّل المصفوفة إلى شكل مثلثي علوي بعمليات الصفوف الأولية، ثم اضرب عناصر القطر. وثلاث قواعد تحفظ الحساب سليمًا:

• تبديل صفين يضرب المحدد في −1.
• ضرب صف في k يضرب المحدد في k.
• إضافة مضاعف صف إلى صف آخر لا تغيّر المحدد — وهذه هي العملية الأساسية.

الكلفة نحو n³/3 عملية بدل n!، ولهذا تستخدم حاسبتنا الحذف لكل ما هو أكبر من 3×3.

خصائص تستحق الحفظ

• det(Aᵀ) = det(A)
• det(A·B) = det(A)·det(B)
• det(A⁻¹) = 1 / det(A)
• det(k·A) = kⁿ·det(A) لمصفوفة n×n — لأن العدد يضرب كل صف من الصفوف n
• محدد المصفوفة المثلثية هو جداء عناصر قطرها