كيف تجد معكوس مصفوفة

حذف غاوس-جوردان على [A | I]، وصيغة المصفوفة المرافقة، والطريق المختصر لـ2×2 — مع شروط قابلية العكس.

معكوس المصفوفة المربعة A⁻¹ هو المصفوفة التي تلغي أثرها: A·A⁻¹ = A⁻¹·A = I. وهو موجود فقط عندما يكون det(A) ≠ 0. والمصفوفة ذات المحدد الصفري تُسمّى شاذة، وليس لها معكوس على الإطلاق — لا كبير ولا تقريبي ولا أي شيء.

الطريق المختصر لـ2×2

بدّل عنصري القطر الرئيسي، واعكس إشارة القطر الثانوي، ثم اقسم على المحدد:

غاوس-جوردان على المصفوفة الموسّعة

هذه هي الطريقة العامة، وهي التي تعرضها حاسبتنا خطوة بخطوة. اكتب A بجوار مصفوفة الوحدة، ثم نفّذ عمليات الصفوف حتى يصبح النصف الأيسر مصفوفة وحدة. وما تحوّل إليه النصف الأيمن هو A⁻¹:

وإذا صار في مرحلة ما أحد صفوف الجهة اليسرى أصفارًا كلها، فتوقّف: المصفوفة شاذة ولا وجود للمعكوس.

صيغة المصفوفة المرافقة

A⁻¹ = adj(A) / det(A)، حيث المرافقة هي منقول مصفوفة المرافقات. كوّن مصفوفة المرافقات C(i,j) = (−1)^(i+j)·M(i,j)، ثم انقلها، ثم اقسم على المحدد.

الصيغة أنيقة وتستخدمها البراهين، لكنها تتطلب n² محددًا من الرتبة n−1. وفوق 3×3، استخدم غاوس-جوردان.

تحققات وخصائص مفيدة

• تحقّق دائمًا: اضرب إجابتك في المصفوفة الأصلية وتأكد أن الناتج مصفوفة الوحدة.
• (A·B)⁻¹ = B⁻¹·A⁻¹ — الترتيب ينعكس.
• (Aᵀ)⁻¹ = (A⁻¹)ᵀ
• المصفوفة المتعامدة تحقّق A⁻¹ = Aᵀ، فيصبح العكس بلا كلفة.
• لحل Ax = b، لا تحسب A⁻¹ ثم تضرب. اختزل [A | b] بدلًا من ذلك — عمليات أقل ودقة عددية أفضل.