شرح حذف غاوس وغاوس-جوردان
الشكل الدرجي، والشكل الدرجي المختزل، والمحاور، والعمليات الأولية الثلاث على الصفوف، مطبّقة على مصفوفة محددة.
الحذف أنفع خوارزمية في الجبر الخطي. فالرتبة والمحدد والمعكوس وحل جملة المعادلات الخطية كلها تنبع منه. ويقوم على ثلاث عمليات أولية على الصفوف، ولا واحدة منها تغيّر مجموعة حلول الجملة الأصلية:
- تبديل صفين:
ص(i) ↔ ص(j) - ضرب صف في عدد غير صفري:
ص(i) → k·ص(i) - إضافة مضاعف صف إلى صف آخر:
ص(i) → ص(i) + k·ص(j)
الشكل الدرجي
تكون المصفوفة في الشكل الدرجي عندما:
- تقع الصفوف الصفرية كلها في الأسفل؛
- يقع أول عنصر غير صفري في كل صف (المحور) إلى يمين محور الصف الذي فوقه تمامًا؛
- يكون كل ما تحت المحور أصفارًا.
| 2 | 1 | −1 |
| 0 | 3 | 2 |
| 0 | 0 | 5 |
الشكل الدرجي المختزل
يمضي الشكل المختزل أبعد: كل محور يساوي 1 ويكون العنصر غير الصفري الوحيد في عموده. والأهم: لكل مصفوفة شكل درجي مختزل واحد لا غير — فالنتيجة لا تتعلق بترتيب العمليات التي أجريتها.
| 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 1 |
الخوارزمية خطوة بخطوة
- ابدأ من أعلى اليسار. ابحث عن أكبر عنصر في العمود الحالي — وهذا هو الاختيار الجزئي للمحور، ويبقي أخطاء التقريب صغيرة.
- إذا كان العمود كله أصفارًا، انتقل عمودًا واحدًا وأعد المحاولة.
- بدّل ذلك الصف إلى موضع المحور.
- اقسم صف المحور على المحور نفسه ليصبح المحور 1.
- اطرح مضاعفات صف المحور من بقية الصفوف لتصفير باقي العمود.
- انزل صفًا وانتقل عمودًا، ثم كرّر.
إن صفّرت في الخطوة 5 الصفوف التي تحت المحور فقط، حصلت على حذف غاوس (الشكل الدرجي). وإن نظّفت ما فوقه أيضًا، حصلت على غاوس-جوردان (الشكل المختزل).
قراءة الحلول
- حل وحيد: لكل عمود في مصفوفة المعاملات محور.
- حلول لا نهائية: هناك عمود بلا محور — ومتغيّراته حرة.
- لا حل: يظهر صف صورته
0 0 0 | cمعc ≠ 0، أي يدّعي أن 0 = c.