ما رتبة المصفوفة؟

الرتبة بوصفها عدد الصفوف المستقلة خطيًا، وكيف تُحسب بالحذف، وماذا تعني الرتبة الكاملة لقابلية العكس وللجمل الخطية.

رتبة المصفوفة هي عدد الصفوف المستقلة خطيًا — وبالمثل عدد الأعمدة المستقلة خطيًا. والعددان متساويان دائمًا، وهي حقيقة مهمة إلى حدّ أن لها اسمًا: مبرهنة تساوي رتبة الصفوف ورتبة الأعمدة.

كيف تُحسب

اختزل المصفوفة وعُدّ الصفوف غير الصفرية. هذا العدد هو الرتبة. وعمليات الصفوف لا تغيّر الرتبة أبدًا، ولهذا بالضبط تنجح هذه الطريقة.

الصف الثاني هنا كان ضعف الأول فحسب، فهو لا يحمل معلومة جديدة وينهار إلى صفر.

الحدود والرتبة الكاملة

في مصفوفة m×n يكون الرتبة ≤ min(m, n). والمصفوفة التي تبلغ هذا الحد تكون ذات رتبة كاملة. وفي المصفوفة المربعة، الرتبة الكاملة تكافئ قابلية العكس، وتكافئ أن يكون المحدد غير صفري — ثلاث صياغات لخاصية واحدة.

لماذا يهم ذلك

• مبرهنة روشيه-كابيلي: تكون الجملة Ax = b متوافقة تمامًا عندما رتبة(A) = رتبة([A | b]). فإن ساوت هذه الرتبة المشتركة عدد المجاهيل كان الحل وحيدًا، وإلا فالحلول لا نهائية بعدد n − الرتبة من الوسائط الحرة.
• مبرهنة الرتبة والنواة: رتبة(A) + بُعد النواة(A) = n، أي عدد الأعمدة.
• تعطي الرتبة بُعد صورة التطبيق الخطي، فهي تقيس مقدار ما يطويه التحويل من الفضاء.
• رتبة(A·B) ≤ min(رتبة(A), رتبة(B)) — فالضرب لا ينشئ استقلالًا خطيًا أبدًا.