كيف يعمل ضرب المصفوفات

قاعدة الصف في العمود، ولماذا يجب أن تتوافق الأبعاد، ولماذا AB ≠ BA، وما الخصائص التي تبقى صحيحة رغم ذلك.

لضرب A (m×n) في B (n×p) يجب أن تتطابق الأبعاد الداخلية: عدد أعمدة A يجب أن يساوي عدد صفوف B. والناتج من الرتبة m×p.

القاعدة

العنصر (i, j) في الجداء هو الضرب القياسي للصف i من A في العمود j من B:

c(i,j) = a(i,1)·b(1,j) + a(i,2)·b(2,j) + … + a(i,n)·b(n,j)

تحقّق من العنصر الأول: 1·5 + 2·7 = 19. وحاسبتنا تعرض كل واحد من هذه النشرات عند فتح لوحة الحل خطوة بخطوة.

‏AB ليست BA

ضرب المصفوفات غير تبديلي. وكثيرًا ما لا تكون BA معرّفة أصلًا، وحين يوجد الجداءان يكونان عادةً مصفوفتين مختلفتين. فعكس ترتيب جداء تحويلات يغيّر النتيجة فعلًا — الدوران ثم الانعكاس ليس كالانعكاس ثم الدوران.

ما يبقى صحيحًا

• التجميع: (A·B)·C = A·(B·C)
• التوزيع: A·(B + C) = A·B + A·C
• عنصر الوحدة: I·A = A·I = A
• النقل يعكس الترتيب: (A·B)ᵀ = Bᵀ·Aᵀ
• المحددات تتضاعف: det(A·B) = det(A)·det(B)

وتحذير آخر: A·B = 0 لا يعني أن A أو B صفرية. فللمصفوفات قواسم صفر، بخلاف الأعداد المعتادة.

الأسس

Aⁿ لا معنى له إلا للمصفوفات المربعة، وA⁰ تُعرَّف بأنها مصفوفة الوحدة. وحسابها بالتربيع المتكرر — A⁸ = ((A²)²)² — يكلّف 3 عمليات ضرب بدل 7.