Determinante einer Matrix berechnen

Vier Wege zur Determinante — die 2×2-Formel, die Regel von Sarrus, die Laplace-Entwicklung nach Kofaktoren und die Gauß-Elimination — und wann welcher passt.

Die Determinante ist eine einzelne Zahl, die zu einer quadratischen Matrix gehört. Sie beantwortet vor allem eine Frage: Ist die Matrix invertierbar? Determinante null bedeutet, dass die Zeilen linear abhängig sind, die Matrix singulär ist und keine Inverse existiert. Geometrisch ist die Determinante der vorzeichenbehaftete Faktor, um den die Matrix Fläche (2×2) oder Volumen (3×3) streckt.

Die 2×2-Formel

Bei einer 2×2-Matrix ist die Determinante das Produkt der Hauptdiagonale minus das der Nebendiagonale:

Für [[1, 2], [3, 4]] ergibt das 1·4 − 2·3 = −2. Ein negatives Ergebnis ist völlig normal: Das Vorzeichen sagt, dass die Abbildung die Orientierung umkehrt.

Die Regel von Sarrus (nur 3×3)

Bei 3×3-Matrizen schreiben Sie die ersten beiden Spalten rechts noch einmal daneben, addieren die drei nach rechts unten laufenden Produkte und subtrahieren die drei nach links unten laufenden:

Sarrus geht schnell und ist leicht zu merken, gilt aber nur für 3×3. Eine 4×4-Variante existiert nicht — ein Klassiker unter den Klausurfehlern.

Laplace-Entwicklung (Kofaktoren)

Wählen Sie eine beliebige Zeile oder Spalte und schreiben Sie die Determinante als Summe der Einträge mal ihrer Kofaktoren. Der Kofaktor C(i,j) ist (−1)^(i+j) mal der Minor — die Determinante der Matrix ohne Zeile i und Spalte j.

Die Kofaktorentwicklung funktioniert für jede Größe und ist von Hand das Mittel der Wahl, wenn eine Zeile oder Spalte viele Nullen enthält: Jede Null streicht einen ganzen Minor. Ihr Aufwand wächst allerdings wie n! und ist für große Matrizen aussichtslos.

Gauß-Elimination

Das macht ein Computer. Bringen Sie die Matrix mit elementaren Zeilenumformungen auf obere Dreiecksform und multiplizieren Sie die Diagonale. Drei Regeln halten die Buchführung sauber:

• Ein Zeilentausch multipliziert die Determinante mit −1.
• Eine Zeile mit k zu multiplizieren multipliziert die Determinante mit k.
• Das Vielfache einer Zeile zu einer anderen zu addieren lässt die Determinante unverändert — das ist die Arbeitsoperation.

Der Aufwand liegt bei etwa n³/3 Operationen statt n!. Deshalb rechnet unser Rechner ab 4×4 mit Elimination.

Merkenswerte Eigenschaften

• det(Aᵀ) = det(A)
• det(A·B) = det(A)·det(B)
• det(A⁻¹) = 1 / det(A)
• det(k·A) = kⁿ·det(A) bei einer n×n-Matrix — der Skalar trifft jede der n Zeilen
• Bei einer Dreiecksmatrix ist die Determinante das Produkt der Diagonale