Was ist der Rang einer Matrix?

Der Rang als Zahl unabhängiger Zeilen, wie man ihn durch Elimination bestimmt und was voller Rang für Invertierbarkeit und lineare Systeme bedeutet.

Der Rang einer Matrix ist die Anzahl linear unabhängiger Zeilen — gleichbedeutend: linear unabhängiger Spalten. Diese beiden Zahlen stimmen immer überein, ein Sachverhalt, der einen eigenen Namen verdient: der Satz Zeilenrang gleich Spaltenrang.

Wie man ihn bestimmt

Matrix umformen und die Zeilen ungleich null zählen. Diese Anzahl ist der Rang. Zeilenumformungen ändern den Rang nie — genau deshalb funktioniert das.

Die zweite Zeile war hier das Doppelte der ersten, trägt also keine neue Information und fällt auf null zusammen.

Schranken und voller Rang

Für eine m×n-Matrix gilt Rang ≤ min(m, n). Eine Matrix, die diese Schranke erreicht, hat vollen Rang. Bei einer quadratischen Matrix ist voller Rang dasselbe wie invertierbar und dasselbe wie Determinante ungleich null — drei Formulierungen einer Eigenschaft.

Warum das zählt

• Satz von Kronecker-Capelli: Das System Ax = b ist genau dann lösbar, wenn Rang(A) = Rang([A | b]). Stimmt dieser gemeinsame Rang mit der Zahl der Unbekannten überein, ist die Lösung eindeutig; sonst gibt es unendlich viele mit n − Rang freien Parametern.
• Rangsatz: Rang(A) + Defekt(A) = n, die Spaltenzahl.
• Der Rang gibt die Dimension des Bildes der linearen Abbildung an, misst also, wie stark sie den Raum zusammenfallen lässt.
• Rang(A·B) ≤ min(Rang(A), Rang(B)) — Multiplizieren erzeugt nie Unabhängigkeit.