Gauß- und Gauß-Jordan-Elimination erklärt

Zeilenstufenform, reduzierte Zeilenstufenform, Pivots und die drei elementaren Zeilenumformungen, an einer konkreten Matrix durchgerechnet.

Die Elimination ist der nützlichste Algorithmus der linearen Algebra. Rang, Determinante, Inverse und die Lösung eines linearen Gleichungssystems fallen alle aus ihr heraus. Sie beruht auf drei elementaren Zeilenumformungen, von denen keine die Lösungsmenge des zugrunde liegenden Systems verändert:

1. Zwei Zeilen tauschen: Z(i) ↔ Z(j)
2. Eine Zeile mit einem Skalar ungleich null multiplizieren: Z(i) → k·Z(i)
3. Das Vielfache einer Zeile zu einer anderen addieren: Z(i) → Z(i) + k·Z(j)

Zeilenstufenform

Eine Matrix ist in Zeilenstufenform, wenn:

• Nullzeilen ganz unten stehen;
• jeder erste Eintrag ungleich null (das Pivot) echt weiter rechts steht als das Pivot der Zeile darüber;
• alles unter einem Pivot null ist.

Reduzierte Zeilenstufenform

Die reduzierte Form geht weiter: Jedes Pivot ist 1 und der einzige Eintrag ungleich null in seiner Spalte. Entscheidend: Jede Matrix hat genau eine reduzierte Zeilenstufenform — das Ergebnis hängt nicht davon ab, in welcher Reihenfolge Sie umgeformt haben.

Der Algorithmus, Schritt für Schritt

1. Oben links beginnen. Den betragsgrößten Eintrag der aktuellen Spalte suchen — das ist die Teilpivotisierung, sie hält Rundungsfehler klein.
2. Ist die ganze Spalte null, eine Spalte weiter nach rechts gehen und erneut versuchen.
3. Diese Zeile nach oben an die Pivotposition tauschen.
4. Die Pivotzeile durch das Pivot teilen, damit das Pivot 1 wird.
5. Vielfache der Pivotzeile von allen anderen Zeilen abziehen, um den Rest der Spalte zu annullieren.
6. Eine Zeile nach unten, eine Spalte nach rechts, und wiederholen.

Annullieren Sie in Schritt 5 nur die Zeilen unterhalb des Pivots, erhalten Sie die Gauß-Elimination (Zeilenstufenform). Räumen Sie auch oberhalb auf, ergibt das Gauß-Jordan (reduzierte Form).

Die Lösungen ablesen

• Eindeutige Lösung: Jede Spalte der Koeffizientenmatrix hat ein Pivot.
• Unendlich viele: Eine Spalte bleibt ohne Pivot — diese Variablen sind frei.
• Keine Lösung: Eine Zeile lautet 0 0 0 | c mit c ≠ 0 und behauptet 0 = c.