Inverse einer Matrix bestimmen

Gauß-Jordan-Elimination an [A | I], die Adjunkten-Formel und die 2×2-Abkürzung — samt der Bedingungen für Invertierbarkeit.

Die Inverse A⁻¹ einer quadratischen Matrix macht deren Wirkung rückgängig: A·A⁻¹ = A⁻¹·A = I. Sie existiert nur, wenn det(A) ≠ 0 ist. Eine Matrix mit Determinante null heißt singulär und hat schlicht keine Inverse — keine große, keine genäherte, gar keine.

Die 2×2-Abkürzung

Hauptdiagonale tauschen, Nebendiagonale im Vorzeichen umdrehen, durch die Determinante teilen:

Gauß-Jordan an der erweiterten Matrix

Das ist das allgemeine Verfahren und das, welches unser Rechner Schritt für Schritt zeigt. Schreiben Sie A neben die Einheitsmatrix und formen Sie um, bis die linke Hälfte die Einheitsmatrix ist. Was aus der rechten Hälfte geworden ist, ist A⁻¹:

Wird links irgendwann eine Zeile komplett null, hören Sie auf: Die Matrix ist singulär, eine Inverse gibt es nicht.

Die Adjunkten-Formel (Kofaktoren)

A⁻¹ = adj(A) / det(A), wobei die Adjunkte die Transponierte der Kofaktormatrix ist. Bilden Sie die Kofaktormatrix C(i,j) = (−1)^(i+j)·M(i,j), transponieren Sie sie und teilen Sie durch die Determinante.

Elegant, und Beweise arbeiten damit — aber sie verlangt n² Determinanten der Größe n−1. Oberhalb von 3×3 nehmen Sie Gauß-Jordan.

Nützliche Proben und Eigenschaften

• Immer prüfen: Ergebnis mit der Ausgangsmatrix multiplizieren und die Einheitsmatrix bestätigen.
• (A·B)⁻¹ = B⁻¹·A⁻¹ — die Reihenfolge dreht sich um.
• (Aᵀ)⁻¹ = (A⁻¹)ᵀ
• Bei einer orthogonalen Matrix gilt A⁻¹ = Aᵀ, das Invertieren ist damit gratis.
• Für Ax = b nicht erst A⁻¹ berechnen und dann multiplizieren. Formen Sie stattdessen [A | b] um — weniger Operationen und numerisch genauer.