Wie die Matrizenmultiplikation funktioniert
Die Zeile-mal-Spalte-Regel, warum die Dimensionen passen müssen, warum AB ≠ BA gilt und welche Eigenschaften dennoch bleiben.
Um A (m×n) mit B (n×p) zu multiplizieren, müssen die inneren Dimensionen übereinstimmen: die Spaltenzahl von A muss der Zeilenzahl von B entsprechen. Das Ergebnis ist m×p.
Die Regel
Der Eintrag (i, j) des Produkts ist das Skalarprodukt von Zeile i aus A mit Spalte j aus B:
c(i,j) = a(i,1)·b(1,j) + a(i,2)·b(2,j) + … + a(i,n)·b(n,j)
| 1 | 2 |
| 3 | 4 |
| 5 | 6 |
| 7 | 8 |
| 19 | 22 |
| 43 | 50 |
Prüfen Sie den ersten Eintrag: 1·5 + 2·7 = 19. Unser Rechner zeigt jede einzelne dieser Entwicklungen, wenn Sie den Rechenweg aufklappen.
AB ist nicht BA
Die Matrizenmultiplikation ist nicht kommutativ. Oft ist BA nicht einmal definiert, und wenn beide Produkte existieren, sind es meist verschiedene Matrizen. Die Reihenfolge eines Produkts von Abbildungen umzudrehen ändert wirklich etwas — erst drehen, dann spiegeln ist nicht erst spiegeln, dann drehen.
Was dennoch gilt
- Assoziativ:
(A·B)·C = A·(B·C) - Distributiv:
A·(B + C) = A·B + A·C - Einheitsmatrix:
I·A = A·I = A - Transponieren dreht um:
(A·B)ᵀ = Bᵀ·Aᵀ - Determinanten multiplizieren sich:
det(A·B) = det(A)·det(B)
Noch eine Warnung: Aus A·B = 0 folgt nicht, dass A oder B null ist. Matrizen haben Nullteiler, anders als gewöhnliche Zahlen.
Potenzen
Aⁿ ist nur für quadratische Matrizen sinnvoll, und A⁰ ist als Einheitsmatrix definiert. Über wiederholtes Quadrieren — A⁸ = ((A²)²)² — braucht man 3 Multiplikationen statt 7.