Cómo calcular el determinante de una matriz
Cuatro formas de calcular un determinante —la fórmula 2×2, la regla de Sarrus, el desarrollo de Laplace por cofactores y la eliminación gaussiana— y cuándo usar cada una.
El determinante es un único número asociado a una matriz cuadrada. Responde ante todo a una pregunta: ¿es invertible la matriz? Un determinante nulo significa que las filas son linealmente dependientes, que la matriz es singular y que no existe inversa. Geométricamente, el determinante es el factor con signo por el que la matriz escala el área (2×2) o el volumen (3×3).
La fórmula 2×2
En una matriz 2×2 el determinante es el producto de la diagonal principal menos el de la secundaria:
| a | b |
| c | d |
Así, para [[1, 2], [3, 4]] el determinante es 1·4 − 2·3 = −2. Que salga negativo es perfectamente normal: el signo indica que la transformación invierte la orientación.
La regla de Sarrus (solo 3×3)
En matrices 3×3, copia las dos primeras columnas a la derecha de la matriz, suma los tres productos que bajan hacia la derecha y resta los tres que bajan hacia la izquierda:
| 1 | 2 | 3 |
| 4 | 5 | 6 |
| 7 | 8 | 10 |
Sarrus es rápida y fácil de recordar, pero solo sirve para 3×3. No existe una versión 4×4: es un error clásico de examen.
Desarrollo de Laplace (cofactores)
Elige cualquier fila o columna y escribe el determinante como la suma de sus elementos multiplicados por sus cofactores. El cofactor C(i,j) es (−1)^(i+j) por el menor complementario: el determinante de la matriz sin la fila i ni la columna j.
El desarrollo por cofactores vale para cualquier tamaño, y es el método que conviene a mano cuando una fila o columna tiene muchos ceros: cada cero elimina un menor entero. Su coste, sin embargo, crece como n!, así que es inviable para matrices grandes.
Eliminación gaussiana
Es lo que hace un ordenador. Reduce la matriz a forma triangular superior con operaciones elementales de fila y multiplica la diagonal. Tres reglas mantienen la contabilidad en orden:
- Intercambiar dos filas multiplica el determinante por −1.
- Multiplicar una fila por k multiplica el determinante por k.
- Sumar un múltiplo de una fila a otra deja el determinante intacto: es la operación de trabajo.
El coste ronda las n³/3 operaciones en lugar de n!, y por eso nuestra calculadora usa eliminación para todo lo que supere 3×3.
Propiedades que conviene memorizar
det(Aᵀ) = det(A)det(A·B) = det(A)·det(B)det(A⁻¹) = 1 / det(A)det(k·A) = kⁿ·det(A)en una matriz n×n: el escalar afecta a cada una de las n filas- En una matriz triangular, el determinante es el producto de su diagonal