¿Qué es el rango de una matriz?

El rango como número de filas independientes, cómo calcularlo por escalonamiento y qué significa el rango completo para la invertibilidad y los sistemas lineales.

El rango de una matriz es el número de filas linealmente independientes o, equivalentemente, de columnas linealmente independientes. Esos dos números siempre coinciden, un hecho lo bastante importante como para tener nombre: el teorema de que el rango por filas es igual al rango por columnas.

Cómo calcularlo

Escalona la matriz y cuenta las filas no nulas. Ese número es el rango. Las operaciones de fila nunca cambian el rango, y justo por eso funciona.

Aquí la segunda fila era el doble de la primera, así que no aporta información nueva y se anula.

Cotas y rango completo

En una matriz m×n, rango ≤ mín(m, n). Una matriz que alcanza esa cota tiene rango completo. En una matriz cuadrada, tener rango completo es lo mismo que ser invertible, y lo mismo que tener determinante no nulo: tres formas de decir una misma propiedad.

Por qué importa

• Teorema de Rouché–Frobenius: el sistema Ax = b es compatible exactamente cuando rango(A) = rango([A | b]). Si ese rango común coincide con el número de incógnitas, la solución es única; si no, hay infinitas, con n − rango parámetros libres.
• Teorema del rango y la nulidad: rango(A) + nulidad(A) = n, el número de columnas.
• El rango da la dimensión de la imagen de la aplicación lineal, o sea, mide cuánto colapsa el espacio.
• rango(A·B) ≤ mín(rango(A), rango(B)): multiplicar nunca crea independencia.