La eliminación gaussiana y de Gauss-Jordan explicadas
Forma escalonada, forma escalonada reducida, pivotes y las tres operaciones elementales de fila, aplicadas sobre una matriz concreta.
El escalonamiento es el algoritmo más útil del álgebra lineal. El rango, el determinante, la inversa y la solución de un sistema lineal salen todos de él. Se apoya en tres operaciones elementales de fila, y ninguna cambia el conjunto de soluciones del sistema subyacente:
- Intercambiar dos filas:
F(i) ↔ F(j) - Multiplicar una fila por un escalar no nulo:
F(i) → k·F(i) - Sumar un múltiplo de una fila a otra:
F(i) → F(i) + k·F(j)
Forma escalonada por filas
Una matriz está en forma escalonada cuando:
- las filas totalmente nulas quedan abajo;
- cada primer elemento no nulo (el pivote) está estrictamente a la derecha del pivote de la fila superior;
- todo lo que hay debajo de un pivote es cero.
| 2 | 1 | −1 |
| 0 | 3 | 2 |
| 0 | 0 | 5 |
Forma escalonada reducida
La forma reducida va más allá: todo pivote vale 1 y es el único elemento no nulo de su columna. Y lo más importante: cada matriz tiene exactamente una forma escalonada reducida, así que el resultado no depende del orden en que hayas hecho las operaciones.
| 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 1 |
El algoritmo, paso a paso
- Empieza arriba a la izquierda. Busca el mayor elemento de la columna actual: eso es el pivoteo parcial, y mantiene pequeños los errores de redondeo.
- Si toda la columna es cero, avanza una columna y vuelve a intentarlo.
- Sube esa fila a la posición del pivote.
- Divide la fila del pivote por el propio pivote, para que valga 1.
- Resta múltiplos de la fila del pivote a las demás para anular el resto de la columna.
- Baja una fila, avanza una columna y repite.
Si en el paso 5 solo anulas las filas por debajo del pivote, tienes la eliminación gaussiana (forma escalonada). Anulando también las de arriba, tienes Gauss-Jordan (forma reducida).
Leer las soluciones
- Solución única: todas las columnas de la matriz de coeficientes tienen pivote.
- Infinitas soluciones: alguna columna se queda sin pivote; esas variables son libres.
- Sin solución: aparece una fila
0 0 0 | cconc ≠ 0, que afirma que 0 = c.