Cómo hallar la inversa de una matriz

Eliminación de Gauss-Jordan en [A | I], la fórmula de la adjunta y el atajo 2×2, con las condiciones que debe cumplir una matriz para ser invertible.

La inversa A⁻¹ de una matriz cuadrada es la matriz que deshace lo que ella hace: A·A⁻¹ = A⁻¹·A = I. Solo existe cuando det(A) ≠ 0. Una matriz con determinante nulo se llama singular y sencillamente no tiene inversa: ni una grande, ni una aproximada, ninguna.

El atajo 2×2

Intercambia la diagonal principal, cambia el signo de la secundaria y divide por el determinante:

Gauss-Jordan sobre la matriz ampliada

Este es el método general, y el que nuestra calculadora muestra paso a paso. Escribe A junto a la matriz identidad y aplica operaciones de fila hasta que la mitad izquierda sea la identidad. En lo que se haya convertido la mitad derecha es A⁻¹:

Si en algún momento una fila de la izquierda queda toda a cero, detente: la matriz es singular y la inversa no existe.

La fórmula de la adjunta (cofactores)

A⁻¹ = adj(A) / det(A), donde la adjunta es la transpuesta de la matriz de cofactores. Construye la matriz de cofactores C(i,j) = (−1)^(i+j)·M(i,j), transpónla y divide por el determinante.

Es elegante y es la que usan las demostraciones, pero exige n² determinantes de tamaño n−1. Por encima de 3×3, usa Gauss-Jordan.

Comprobaciones y propiedades útiles

• Comprueba siempre: multiplica tu resultado por la matriz original y confirma que da la identidad.
• (A·B)⁻¹ = B⁻¹·A⁻¹: el orden se invierte.
• (Aᵀ)⁻¹ = (A⁻¹)ᵀ
• En una matriz ortogonal se cumple A⁻¹ = Aᵀ, lo que hace gratuita la inversión.
• Para resolver Ax = b, no calcules A⁻¹ para luego multiplicar. Escalona [A | b]: menos operaciones y mejor precisión numérica.