La descomposición LU, paso a paso

Factorizar una matriz en partes triangular inferior y superior, por qué es más rápido que volver a escalonar y cómo Cholesky especializa el método.

La descomposición LU escribe una matriz cuadrada como el producto de una matriz triangular inferior por una superior: A = L·U. Los factores salen directamente de la eliminación gaussiana: U es la forma escalonada, y L guarda los multiplicadores que usaste para llegar hasta ella.

Para qué sirve

Porque la factorización es reutilizable. Resolver Ax = b desde cero cuesta unas n³/3 operaciones. Con L y U ya calculadas, cada nuevo término independiente cuesta solo n²: resuelve Ly = b por sustitución progresiva y luego Ux = y por sustitución regresiva. Con decenas de términos independientes, la ganancia es enorme.

El determinante también sale gratis: es el producto de la diagonal de U, multiplicado por −1 por cada intercambio de filas realizado.

Pivoteo

No toda matriz admite un A = L·U simple: un cero en la posición del pivote lo rompe. La solución es una matriz de permutación, que da P·A = L·U. En la práctica el pivoteo se usa de todos modos, porque escoger el mayor pivote disponible mantiene controlados los errores de redondeo.

Cholesky: el caso simétrico

Si A es simétrica y definida positiva, se factoriza como A = L·Lᵀ: basta un factor triangular. Cholesky es casi el doble de rápida que LU y numéricamente muy estable, y por eso domina en optimización, mínimos cuadrados y estadística (las matrices de covarianza son simétricas definidas positivas por construcción).

Si en algún momento el algoritmo pide la raíz cuadrada de un número negativo, la matriz no era definida positiva: Cholesky sirve también como prueba de esa propiedad.