Cómo funciona la multiplicación de matrices
La regla fila por columna, por qué las dimensiones deben encajar, por qué AB ≠ BA y qué propiedades siguen cumpliéndose.
Para multiplicar A (m×n) por B (n×p), las dimensiones interiores deben coincidir: el número de columnas de A tiene que ser igual al de filas de B. El resultado es m×p.
La regla
El elemento (i, j) del producto es el producto escalar de la fila i de A por la columna j de B:
c(i,j) = a(i,1)·b(1,j) + a(i,2)·b(2,j) + … + a(i,n)·b(n,j)
| 1 | 2 |
| 3 | 4 |
| 5 | 6 |
| 7 | 8 |
| 19 | 22 |
| 43 | 50 |
Comprueba el primer elemento: 1·5 + 2·7 = 19. Nuestra calculadora muestra cada uno de estos desarrollos cuando abres el panel paso a paso.
AB no es BA
La multiplicación de matrices no es conmutativa. A menudo BA ni siquiera está definida, y cuando ambos productos existen suelen ser matrices distintas. Invertir el orden de un producto de transformaciones cambia de verdad lo que ocurre: girar y luego reflejar no es lo mismo que reflejar y luego girar.
Lo que sí se cumple
- Asociativa:
(A·B)·C = A·(B·C) - Distributiva:
A·(B + C) = A·B + A·C - Identidad:
I·A = A·I = A - La transpuesta invierte el orden:
(A·B)ᵀ = Bᵀ·Aᵀ - Los determinantes se multiplican:
det(A·B) = det(A)·det(B)
Un aviso más: A·B = 0 no implica que A o B sean nulas. Las matrices tienen divisores de cero, a diferencia de los números corrientes.
Potencias
Aⁿ solo tiene sentido en matrices cuadradas, y A⁰ se define como la identidad. Calcularla elevando al cuadrado repetidamente —A⁸ = ((A²)²)²— cuesta 3 multiplicaciones en vez de 7.