Comment calculer le déterminant d’une matrice

Quatre façons de calculer un déterminant — la formule 2×2, la règle de Sarrus, le développement de Laplace par cofacteurs et l’élimination de Gauss — et quand utiliser chacune.

Le déterminant est un nombre unique attaché à une matrice carrée. Il répond avant tout à une question : la matrice est-elle inversible ? Un déterminant nul signifie que les lignes sont linéairement dépendantes, que la matrice est singulière et qu’aucune inverse n’existe. Géométriquement, le déterminant est le facteur signé par lequel la matrice dilate l’aire (2×2) ou le volume (3×3).

La formule 2×2

Pour une matrice 2×2, le déterminant est le produit de la diagonale principale moins celui de l’anti-diagonale :

Ainsi, pour [[1, 2], [3, 4]], le déterminant vaut 1·4 − 2·3 = −2. Un résultat négatif est parfaitement normal : le signe indique que la transformation inverse l’orientation.

La règle de Sarrus (3×3 uniquement)

Pour les matrices 3×3, recopiez les deux premières colonnes à droite de la matrice, additionnez les trois produits descendant vers la droite et soustrayez les trois descendant vers la gauche :

Sarrus est rapide et facile à retenir, mais elle ne vaut que pour le 3×3. Il n’existe pas de version 4×4 — une erreur d’examen très courante.

Développement de Laplace (cofacteurs)

Choisissez n’importe quelle ligne ou colonne et écrivez le déterminant comme la somme des coefficients multipliés par leurs cofacteurs. Le cofacteur C(i,j) vaut (−1)^(i+j) fois le mineur — le déterminant de la matrice privée de la ligne i et de la colonne j.

Le développement par cofacteurs fonctionne pour toute taille, et c’est la méthode à choisir à la main quand une ligne ou une colonne comporte beaucoup de zéros : chaque zéro supprime un mineur entier. Son coût croît toutefois comme n!, ce qui la rend inutilisable sur de grandes matrices.

L’élimination de Gauss

C’est ce que fait un ordinateur. Réduisez la matrice à une forme triangulaire supérieure par des opérations élémentaires sur les lignes, puis multipliez la diagonale. Trois règles tiennent la comptabilité :

• Échanger deux lignes multiplie le déterminant par −1.
• Multiplier une ligne par k multiplie le déterminant par k.
• Ajouter un multiple d’une ligne à une autre laisse le déterminant inchangé — c’est l’opération de travail.

Le coût est d’environ n³/3 opérations au lieu de n!, et c’est pourquoi notre calculatrice passe par l’élimination au-delà du 3×3.

Propriétés à retenir

• det(Aᵀ) = det(A)
• det(A·B) = det(A)·det(B)
• det(A⁻¹) = 1 / det(A)
• det(k·A) = kⁿ·det(A) pour une matrice n×n — le scalaire touche chacune des n lignes
• Pour une matrice triangulaire, le déterminant est le produit de sa diagonale