L’élimination de Gauss et de Gauss-Jordan expliquées

Forme échelonnée, forme échelonnée réduite, pivots et les trois opérations élémentaires sur les lignes, déroulés sur une matrice concrète.

L’élimination est l’algorithme le plus utile de l’algèbre linéaire. Le rang, le déterminant, l’inverse et la solution d’un système linéaire en découlent tous. Elle repose sur trois opérations élémentaires sur les lignes, dont aucune ne modifie l’ensemble des solutions du système sous-jacent :

1. Échanger deux lignes : L(i) ↔ L(j)
2. Multiplier une ligne par un scalaire non nul : L(i) → k·L(i)
3. Ajouter un multiple d’une ligne à une autre : L(i) → L(i) + k·L(j)

Forme échelonnée

Une matrice est échelonnée lorsque :

• les lignes entièrement nulles sont en bas ;
• chaque premier coefficient non nul (le pivot) est strictement à droite du pivot de la ligne au-dessus ;
• tout ce qui se trouve sous un pivot est nul.

Forme échelonnée réduite

La forme réduite va plus loin : chaque pivot vaut 1 et est le seul coefficient non nul de sa colonne. Surtout, toute matrice possède exactement une forme échelonnée réduite — le résultat ne dépend pas de l’ordre dans lequel vous avez opéré.

L’algorithme, étape par étape

1. Commencez en haut à gauche. Cherchez le plus grand coefficient de la colonne courante — c’est le pivotage partiel, il maintient les erreurs d’arrondi faibles.
2. Si toute la colonne est nulle, avancez d’une colonne et recommencez.
3. Remontez cette ligne en position de pivot.
4. Divisez la ligne du pivot par le pivot pour que celui-ci vaille 1.
5. Retranchez des multiples de la ligne du pivot aux autres lignes pour annuler le reste de la colonne.
6. Descendez d’une ligne, avancez d’une colonne, et recommencez.

Si vous n’annulez à l’étape 5 que les lignes sous le pivot, vous obtenez l’élimination de Gauss (forme échelonnée). En nettoyant aussi au-dessus, vous obtenez Gauss-Jordan (forme réduite).

Lire les solutions

• Solution unique : chaque colonne de la matrice des coefficients possède un pivot.
• Infinité de solutions : une colonne reste sans pivot — ces variables sont libres.
• Aucune solution : une ligne s’écrit 0 0 0 | c avec c ≠ 0, ce qui affirme 0 = c.