Qu’est-ce que le rang d’une matrice ?

Le rang comme nombre de lignes indépendantes, son calcul par élimination, et ce que le rang plein implique pour l’inversibilité et les systèmes linéaires.

Le rang d’une matrice est le nombre de lignes linéairement indépendantes — de façon équivalente, de colonnes linéairement indépendantes. Ces deux nombres sont toujours égaux, un fait assez important pour porter un nom : le théorème du rang ligne égal au rang colonne.

Le calculer

Échelonnez la matrice et comptez les lignes non nulles. Ce nombre est le rang. Les opérations sur les lignes ne changent jamais le rang, et c’est précisément pour cela que ça marche.

Ici la deuxième ligne valait le double de la première : elle n’apporte aucune information nouvelle et s’annule.

Bornes et rang plein

Pour une matrice m×n, rang ≤ min(m, n). Une matrice qui atteint cette borne est de rang plein. Pour une matrice carrée, être de rang plein équivaut à être inversible, et équivaut à avoir un déterminant non nul — trois formulations d’une même propriété.

Pourquoi c’est important

• Théorème de Rouché–Fontené : le système Ax = b est compatible exactement lorsque rang(A) = rang([A | b]). Si ce rang commun égale le nombre d’inconnues, la solution est unique ; sinon il y en a une infinité, avec n − rang paramètres libres.
• Théorème du rang : rang(A) + dim(ker A) = n, le nombre de colonnes.
• Le rang donne la dimension de l’image de l’application linéaire : il mesure à quel point elle écrase l’espace.
• rang(A·B) ≤ min(rang(A), rang(B)) — multiplier ne crée jamais d’indépendance.