Comment trouver l’inverse d’une matrice

L’élimination de Gauss-Jordan sur [A | I], la formule de la comatrice et le raccourci 2×2 — avec les conditions d’inversibilité.

L’inverse A⁻¹ d’une matrice carrée est la matrice qui défait son action : A·A⁻¹ = A⁻¹·A = I. Elle n’existe que si det(A) ≠ 0. Une matrice de déterminant nul est dite singulière et n’a tout simplement pas d’inverse — ni grande, ni approchée, aucune.

Le raccourci 2×2

Échangez la diagonale principale, changez le signe de l’anti-diagonale, divisez par le déterminant :

Gauss-Jordan sur la matrice augmentée

C’est la méthode générale, et celle que notre calculatrice détaille étape par étape. Écrivez A à côté de la matrice identité, puis appliquez des opérations sur les lignes jusqu’à ce que la moitié gauche devienne l’identité. Ce qu’est devenue la moitié droite est A⁻¹ :

Si à un moment une ligne de gauche devient entièrement nulle, arrêtez : la matrice est singulière et l’inverse n’existe pas.

La formule de la comatrice

A⁻¹ = adj(A) / det(A), où l’adjointe est la transposée de la comatrice. Construisez la matrice des cofacteurs C(i,j) = (−1)^(i+j)·M(i,j), transposez-la, divisez par le déterminant.

Élégante, et c’est celle qu’utilisent les démonstrations, mais elle réclame n² déterminants de taille n−1. Au-delà du 3×3, utilisez Gauss-Jordan.

Vérifications et propriétés utiles

• Vérifiez toujours : multipliez votre résultat par la matrice de départ et confirmez l’identité.
• (A·B)⁻¹ = B⁻¹·A⁻¹ — l’ordre s’inverse.
• (Aᵀ)⁻¹ = (A⁻¹)ᵀ
• Une matrice orthogonale vérifie A⁻¹ = Aᵀ, ce qui rend l’inversion gratuite.
• Pour résoudre Ax = b, ne calculez pas A⁻¹ pour multiplier ensuite. Réduisez plutôt [A | b] — moins d’opérations et une meilleure précision numérique.