Comment fonctionne la multiplication de matrices
La règle ligne par colonne, pourquoi les dimensions doivent concorder, pourquoi AB ≠ BA, et les propriétés qui subsistent.
Pour multiplier A (m×n) par B (n×p), les dimensions intérieures doivent concorder : le nombre de colonnes de A doit égaler le nombre de lignes de B. Le résultat est m×p.
La règle
Le coefficient (i, j) du produit est le produit scalaire de la ligne i de A par la colonne j de B :
c(i,j) = a(i,1)·b(1,j) + a(i,2)·b(2,j) + … + a(i,n)·b(n,j)
| 1 | 2 |
| 3 | 4 |
| 5 | 6 |
| 7 | 8 |
| 19 | 22 |
| 43 | 50 |
Vérifiez le premier coefficient : 1·5 + 2·7 = 19. Notre calculatrice affiche chacun de ces développements lorsque vous ouvrez le panneau détaillé.
AB n’est pas BA
La multiplication de matrices n’est pas commutative. Souvent BA n’est même pas définie, et lorsque les deux produits existent ils diffèrent en général. Inverser l’ordre d’un produit de transformations change réellement le résultat : tourner puis réfléchir n’est pas réfléchir puis tourner.
Ce qui reste vrai
- Associativité :
(A·B)·C = A·(B·C) - Distributivité :
A·(B + C) = A·B + A·C - Identité :
I·A = A·I = A - La transposition inverse l’ordre :
(A·B)ᵀ = Bᵀ·Aᵀ - Les déterminants se multiplient :
det(A·B) = det(A)·det(B)
Un avertissement de plus : A·B = 0 n’implique pas que A ou B soit nulle. Les matrices ont des diviseurs de zéro, contrairement aux nombres ordinaires.
Puissances
Aⁿ n’a de sens que pour les matrices carrées, et A⁰ est définie comme l’identité. La calculer par élévations au carré successives — A⁸ = ((A²)²)² — coûte 3 multiplications au lieu de 7.