Como calcular o determinante de uma matriz

Quatro formas de calcular um determinante — a fórmula 2×2, a regra de Sarrus, a expansão de Laplace por cofatores e a eliminação de Gauss — e quando usar cada uma.

O determinante é um único número associado a uma matriz quadrada. Ele responde, antes de mais nada, a uma pergunta: a matriz é invertível? Determinante zero significa que as linhas são linearmente dependentes, que a matriz é singular e que não existe inversa. Geometricamente, o determinante é o fator com sinal pelo qual a matriz escala a área (2×2) ou o volume (3×3).

A fórmula 2×2

Numa matriz 2×2, o determinante é o produto da diagonal principal menos o produto da secundária:

Então, para [[1, 2], [3, 4]], o determinante é 1·4 − 2·3 = −2. Negativo é perfeitamente normal: o sinal indica que a transformação inverte a orientação.

A regra de Sarrus (só 3×3)

Em matrizes 3×3, repita as duas primeiras colunas à direita da matriz, some os três produtos que descem para a direita e subtraia os três que descem para a esquerda:

Sarrus é rápida e fácil de memorizar, mas só funciona para 3×3. Não existe versão 4×4 — é um erro clássico de prova.

Expansão de Laplace (cofatores)

Escolha uma linha ou coluna qualquer e escreva o determinante como a soma dos elementos multiplicados pelos seus cofatores. O cofator C(i,j) é (−1)^(i+j) vezes o menor complementar — o determinante da matriz sem a linha i e sem a coluna j.

A expansão por cofatores serve para qualquer tamanho, e é o método a escolher na mão quando uma linha ou coluna tem muitos zeros: cada zero elimina um menor inteiro. O custo, porém, cresce como n!, então é inviável para matrizes grandes.

Eliminação de Gauss

É o que um computador faz. Reduza a matriz à forma triangular superior com operações elementares de linha e multiplique a diagonal. Três regras mantêm a contabilidade honesta:

• Trocar duas linhas multiplica o determinante por −1.
• Multiplicar uma linha por k multiplica o determinante por k.
• Somar um múltiplo de uma linha a outra não altera o determinante — é essa a operação de trabalho.

O custo fica em torno de n³/3 operações, em vez de n! — por isso nossa calculadora usa eliminação para tudo acima de 3×3.

Propriedades que vale memorizar

• det(Aᵀ) = det(A)
• det(A·B) = det(A)·det(B)
• det(A⁻¹) = 1 / det(A)
• det(k·A) = kⁿ·det(A) numa matriz n×n — o escalar atinge cada uma das n linhas
• Numa matriz triangular, o determinante é o produto da diagonal