Eliminação de Gauss e de Gauss-Jordan explicadas

Forma escalonada, forma escalonada reduzida, pivôs e as três operações elementares de linha, aplicadas numa matriz concreta.

O escalonamento é o algoritmo mais útil da álgebra linear. Posto, determinante, inversa e a solução de um sistema linear saem todos dele. Ele se apoia em três operações elementares de linha, e nenhuma delas muda o conjunto solução do sistema por trás:

1. Trocar duas linhas: L(i) ↔ L(j)
2. Multiplicar uma linha por um escalar não nulo: L(i) → k·L(i)
3. Somar um múltiplo de uma linha a outra: L(i) → L(i) + k·L(j)

Forma escalonada

Uma matriz está na forma escalonada quando:

• as linhas totalmente nulas ficam embaixo;
• cada primeiro elemento não nulo (o pivô) está estritamente à direita do pivô da linha de cima;
• tudo abaixo de um pivô é zero.

Forma escalonada reduzida

A forma reduzida vai além: todo pivô vale 1 e é o único elemento não nulo da sua coluna. E o mais importante: toda matriz tem exatamente uma forma escalonada reduzida — o resultado não depende da ordem em que você fez as operações.

O algoritmo, passo a passo

1. Comece no canto superior esquerdo. Procure o maior elemento da coluna atual — isso é o pivotamento parcial, e mantém os erros de arredondamento pequenos.
2. Se a coluna inteira for zero, avance uma coluna e tente de novo.
3. Suba essa linha para a posição do pivô.
4. Divida a linha do pivô pelo próprio pivô, para que ele vire 1.
5. Subtraia múltiplos da linha do pivô de todas as outras, zerando o resto da coluna.
6. Desça uma linha, avance uma coluna e repita.

Se no passo 5 você zerar apenas as linhas abaixo do pivô, tem a eliminação de Gauss (forma escalonada). Zerando também as de cima, tem Gauss-Jordan (forma reduzida).

Lendo as soluções

• Solução única: toda coluna da matriz de coeficientes tem pivô.
• Infinitas soluções: alguma coluna ficou sem pivô — essas variáveis são livres.
• Sem solução: aparece uma linha 0 0 0 | c com c ≠ 0, afirmando que 0 = c.