O que é o posto (rank) de uma matriz?

O posto como número de linhas independentes, como calculá-lo por escalonamento e o que posto completo significa para invertibilidade e sistemas lineares.

O posto de uma matriz é o número de linhas linearmente independentes — ou, equivalentemente, de colunas linearmente independentes. Esses dois números são sempre iguais, fato importante o bastante para ter nome: o teorema do posto-linha igual ao posto-coluna.

Como calcular

Escalone a matriz e conte as linhas não nulas. Esse número é o posto. Operações de linha nunca mudam o posto, e é exatamente por isso que funciona.

Aqui a segunda linha era só o dobro da primeira, então não carrega informação nova e colapsa em zero.

Limites e posto completo

Numa matriz m×n, posto ≤ mín(m, n). Uma matriz que atinge esse limite tem posto completo. Para matriz quadrada, posto completo é a mesma coisa que ser invertível, e a mesma coisa que ter determinante não nulo — três maneiras de dizer a mesma propriedade.

Por que isso importa

• Teorema de Rouché–Capelli: o sistema Ax = b tem solução exatamente quando posto(A) = posto([A | b]). Se esse posto comum for igual ao número de incógnitas, a solução é única; caso contrário há infinitas, com n − posto parâmetros livres.
• Teorema do núcleo e da imagem: posto(A) + nulidade(A) = n, o número de colunas.
• O posto dá a dimensão da imagem da transformação linear, ou seja, mede o quanto ela colapsa o espaço.
• posto(A·B) ≤ mín(posto(A), posto(B)) — multiplicar nunca cria independência.