Como encontrar a inversa de uma matriz

Eliminação de Gauss-Jordan em [A | I], a fórmula da adjunta e o atalho 2×2 — com as condições que uma matriz precisa satisfazer para ser invertível.

A inversa A⁻¹ de uma matriz quadrada é a matriz que desfaz o que ela faz: A·A⁻¹ = A⁻¹·A = I. Ela só existe quando det(A) ≠ 0. Uma matriz com determinante zero é chamada de singular, e simplesmente não tem inversa — nem uma grande, nem uma aproximada, nenhuma.

O atalho 2×2

Troque a diagonal principal, inverta o sinal da secundária e divida pelo determinante:

Gauss-Jordan na matriz aumentada

Este é o método geral, e é o que nossa calculadora mostra passo a passo. Escreva A ao lado da matriz identidade e aplique operações de linha até a metade esquerda virar a identidade. O que a metade direita se tornou é A⁻¹:

Se em algum momento uma linha da esquerda ficar toda zerada, pare: a matriz é singular e a inversa não existe.

A fórmula da adjunta (cofatores)

A⁻¹ = adj(A) / det(A), onde a adjunta é a transposta da matriz de cofatores. Monte a matriz de cofatores C(i,j) = (−1)^(i+j)·M(i,j), transponha e divida pelo determinante.

É elegante e é o que as demonstrações usam, mas exige n² determinantes de tamanho n−1. Acima de 3×3, use Gauss-Jordan.

Verificações e propriedades úteis

• Sempre confira: multiplique sua resposta pela matriz original e confirme que dá a identidade.
• (A·B)⁻¹ = B⁻¹·A⁻¹ — a ordem se inverte.
• (Aᵀ)⁻¹ = (A⁻¹)ᵀ
• Numa matriz ortogonal vale A⁻¹ = Aᵀ, o que torna a inversão gratuita.
• Para resolver Ax = b, não calcule A⁻¹ para depois multiplicar. Escalone [A | b] — são menos operações e melhor precisão numérica.