Como funciona a multiplicação de matrizes

A regra linha por coluna, por que as dimensões precisam bater, por que AB ≠ BA e quais propriedades continuam valendo.

Para multiplicar A (m×n) por B (n×p), as dimensões internas precisam bater: o número de colunas de A tem que ser igual ao número de linhas de B. O resultado é m×p.

A regra

O elemento (i, j) do produto é o produto escalar da linha i de A pela coluna j de B:

c(i,j) = a(i,1)·b(1,j) + a(i,2)·b(2,j) + … + a(i,n)·b(n,j)

Confira o primeiro elemento: 1·5 + 2·7 = 19. Nossa calculadora mostra cada uma dessas expansões quando você abre o painel de passo a passo.

AB não é BA

A multiplicação de matrizes não é comutativa. Muitas vezes BA nem existe, e quando os dois produtos existem eles costumam ser matrizes diferentes. Inverter a ordem de um produto de transformações realmente muda o que acontece — girar e depois refletir não é o mesmo que refletir e depois girar.

O que continua valendo

• Associatividade: (A·B)·C = A·(B·C)
• Distributividade: A·(B + C) = A·B + A·C
• Identidade: I·A = A·I = A
• A transposta inverte a ordem: (A·B)ᵀ = Bᵀ·Aᵀ
• Determinantes se multiplicam: det(A·B) = det(A)·det(B)

Mais um alerta: A·B = 0 não implica que A ou B seja nula. Matrizes têm divisores de zero, ao contrário dos números comuns.

Potências

Aⁿ só faz sentido para matrizes quadradas, e A⁰ é definida como a identidade. Calcular por elevação ao quadrado repetida — A⁸ = ((A²)²)² — custa 3 multiplicações em vez de 7.